三角関数の微分に関する問題です。三角関数は周期的現象の数学的表現として、時系列解析や信号処理で重要な役割を果たします。
三角関数の微分公式
- $(\sin x)' = \cos x$
- $(\cos x)' = -\sin x$
1. 導関数を求める
$\begin{align}f'(x) &= \frac{d}{dx}(3\sin x + 2\cos x) \\&= 3\cos x + 2(-\sin x) \\&= 3\cos x - 2\sin x\end{align}$
2. $x = \frac{\pi}{4}$ での値を計算
$\sin \frac{\pi}{4} = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ なので：
$\begin{align}f'\left(\frac{\pi}{4}\right) &= 3\cos\frac{\pi}{4} - 2\sin\frac{\pi}{4} \\&= 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \\&= \frac{3\sqrt{2}}{2} - \frac{2\sqrt{2}}{2} \\&= \frac{\sqrt{2}}{2}\end{align}$
三角関数微分の覚え方
基本公式：$(\sin x)' = \cos x$、$(\cos x)' = -\sin x$
符号の覚え方：cosの微分にはマイナスが付く
計算のコツ：特殊角の値（$\frac{\pi}{4}$、$\frac{\pi}{6}$など）は暗記必須