逆三角関数の微分と連鎖律を組み合わせた問題です。逆関数の微分は、データの正規化や統計分布の変換において重要な概念です。
逆三角関数の微分公式
$(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
1. 連鎖律の適用
$y = \arcsin(2x)$ は合成関数なので、連鎖律を使用します：
$\begin{align}\frac{dy}{dx} &= \frac{d}{dx}[\arcsin(2x)] \\&= \frac{1}{\sqrt{1-(2x)^2}} \cdot \frac{d}{dx}(2x) \\&= \frac{1}{\sqrt{1-4x^2}} \cdot 2 \\&= \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}\end{align}$
2. 定義域の確認
$\arcsin$ の定義域は $[-1, 1]$ なので、$2x$ についても：
$-1 \leq 2x \leq 1 \Rightarrow -\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}$
逆三角関数微分のコツ
基本公式：$(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
合成関数の場合：分母の$x$を内側の関数に置き換える
定義域に注意：分母が0にならない範囲を確認