偏微分の基本概念を学習する問題です。偏微分は多変量関数の解析において基本的な道具であり、機械学習の勾配ベース最適化の数学的基盤となります。
偏微分の定義
多変数関数 $f(x, y)$ の $x$ に関する偏微分 $\frac{\partial f}{\partial x}$ は、$y$ を定数として扱い、$x$ についてのみ微分することです。
1. $x$ に関する偏微分
$f(x, y) = x^2y + 3xy^2 - 2y^3$ について、$y$ を定数として扱い $x$ で微分します：
$\begin{align}\frac{\partial f}{\partial x} &= \frac{\partial}{\partial x}(x^2y) + \frac{\partial}{\partial x}(3xy^2) + \frac{\partial}{\partial x}(-2y^3) \\&= 2xy + 3y^2 + 0 \\&= 2xy + 3y^2\end{align}$
2. 各項の解説
- $\frac{\partial}{\partial x}(x^2y) = 2xy$ （$y$ は定数扱い）
- $\frac{\partial}{\partial x}(3xy^2) = 3y^2$ （$y^2$ は定数扱い）
- $\frac{\partial}{\partial x}(-2y^3) = 0$ （$x$ を含まない項）
偏微分の計算コツ
基本原則：微分する変数以外は全て定数扱い
記号の使い分け：$\frac{d}{dx}$ は全微分、$\frac{\partial}{\partial x}$ は偏微分
計算手順：微分する変数を含まない項は0になる