<p><strong>極値問題</strong>は、関数の最大値・最小値を求める重要な応用分野です。機械学習では損失関数の最小化、利益関数の最大化など、最適化問題の基礎となります。</p><h4>極値を求める手順</h4><ol><li>$f'(x) = 0$ となる点（臨界点）を求める</li><li>二次導関数 $f''(x)$ を用いて極値の性質を判定</li><li>$f''(x) > 0$ なら極小、$f''(x) < 0$ なら極大</li></ol><p class='step'>1. 一次導関数を求める</p><div class='formula'>$\begin{align}f'(x) &= \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 9x + 1) \\&= 3x^2 - 12x + 9\end{align}
lt;/div><p class='step'>2. 臨界点を求める</p><p>$f'(x) = 0$ を解きます：</p><div class='formula'>\begin{align}3x^2 - 12x + 9 &= 0 \\x^2 - 4x + 3 &= 0 \\(x - 1)(x - 3) &= 0\end{align}</div><p>よって、$x = 1, 3$ が臨界点です。</p><p class='step'>3. 二次導関数を求める</p><div class='formula'>$f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 12x + 9) = 6x - 12
lt;/div><p class='step'>4. 極値の判定</p><ul><li>$x = 1$ のとき：$f''(1) = 6(1) - 12 = -6 < 0$ → 極大</li><li>$x = 3$ のとき：$f''(3) = 6(3) - 12 = 6 > 0$ → 極小</li></ul><p class='step'>5. 極値を計算</p><p>極大値（$x = 1$ での値）：</p><div class='formula'>\begin{align}f(1) &= 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) + 1 \\&= 1 - 6 + 9 + 1 \\&= 5\end{align}</div><p>極小値（$x = 3$ での値）：</p><div class='formula'>\begin{align}f(3) &= 3^3 - 6(3)^2 + 9(3) + 1 \\&= 27 - 54 + 27 + 1 \\&= 1\end{align}</div><p>したがって、極大値は $5$ です。</p><div class='key-point'><div class='key-point-title'>極値問題の解法手順</div><p><strong>3ステップ</strong>：$f'(x) = 0$ → $f''(x)$ で判定 → 元の関数で極値計算</p><p><strong>判定方法</strong>：$f''(x) > 0$ で極小、$f''(x) < 0$ で極大</p><p><strong>計算ミス防止</strong>：臨界点での元の関数値を求める時は慎重に</p></div>