極値問題は、関数の最大値・最小値を求める重要な応用分野です。機械学習では損失関数の最小化、利益関数の最大化など、最適化問題の基礎となります。
極値を求める手順
- $f'(x) = 0$ となる点（臨界点）を求める
- 二次導関数 $f''(x)$ を用いて極値の性質を判定
- $f''(x) > 0$ なら極小、$f''(x) < 0$ なら極大
1. 一次導関数を求める
$\begin{align}f'(x) &= \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 9x + 1) \\&= 3x^2 - 12x + 9\end{align}$
2. 臨界点を求める
$f'(x) = 0$ を解きます：
\begin{align}3x^2 - 12x + 9 &= 0 \\x^2 - 4x + 3 &= 0 \\(x - 1)(x - 3) &= 0\end{align}
よって、$x = 1, 3$ が臨界点です。
3. 二次導関数を求める
$f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 12x + 9) = 6x - 12$
4. 極値の判定
- $x = 1$ のとき：$f''(1) = 6(1) - 12 = -6 < 0$ → 極大
- $x = 3$ のとき：$f''(3) = 6(3) - 12 = 6 > 0$ → 極小
5. 極値を計算
極大値（$x = 1$ での値）：
\begin{align}f(1) &= 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) + 1 \\&= 1 - 6 + 9 + 1 \\&= 5\end{align}
極小値（$x = 3$ での値）：
\begin{align}f(3) &= 3^3 - 6(3)^2 + 9(3) + 1 \\&= 27 - 54 + 27 + 1 \\&= 1\end{align}
したがって、極大値は $5$ です。
極値問題の解法手順
3ステップ：$f'(x) = 0$ → $f''(x)$ で判定 → 元の関数で極値計算
判定方法：$f''(x) > 0$ で極小、$f''(x) < 0$ で極大
計算ミス防止：臨界点での元の関数値を求める時は慎重に