制約条件付き最適化問題の応用です。この種の問題は、リソースの制約下での効率最大化など、実世界の多くの最適化問題の数学的モデルとなります。
制約条件付き最適化の手順
- 変数を設定し、制約条件を数式で表現
- 目的関数を制約条件を用いて1変数の関数として表現
- 導関数を用いて最適解を求める
1. 変数と制約条件の設定
長方形の縦と横の長さを $x, y$ とします。
制約条件（周囲の長さ）：$2x + 2y = 12$
これより：$y = 6 - x$
2. 目的関数の設定
面積 $S$ を $x$ の関数として表現します：
\begin{align}S(x) &= x \cdot y \\&= x(6 - x) \\&= 6x - x^2\end{align}
3. 最適解を求める
$S'(x) = 0$ となる点を求めます：
\begin{align}S'(x) &= 6 - 2x = 0 \\x &= 3\end{align}
4. 最大値の確認
$S''(x) = -2 < 0$ なので、$x = 3$ で最大値をとります。
このとき $y = 6 - 3 = 3$ なので、正方形になります。
5. 最大面積の計算
$S_{\max} = 3 \times 3 = 9$
制約最適化の解法パターン
文字消去法：制約条件で1つの変数を他の変数で表現
1変数最適化：制約を使って目的関数を1変数の関数に変換
幾何学的直感：周囲一定の長方形は正方形で面積最大