絶対値方程式を解く問題です。絶対値は距離や誤差の概念と密接に関連し、データ分析において外れ値検出や損失関数の定義に使われます。
絶対値の定義と性質
絶対値 $|a|$ は、数直線上で原点からの距離を表します：
$|a| = \begin{cases} a & (a \geq 0) \\ -a & (a < 0) \end{cases}$
1. 絶対値方程式の解法
$|2x - 3| = 5$ について、絶対値の定義により場合分けします。
場合1：$2x - 3 \geq 0$ のとき
つまり $x \geq \frac{3}{2}$ のとき、$|2x - 3| = 2x - 3$ なので：
\begin{align}2x - 3 &= 5 \\2x &= 8 \\x &= 4\end{align}
$4 \geq \frac{3}{2}$ なので、$x = 4$ は解です。
場合2：$2x - 3 < 0$ のとき
つまり $x < \frac{3}{2}$ のとき、$|2x - 3| = -(2x - 3) = -2x + 3$ なので：
\begin{align}-2x + 3 &= 5 \\-2x &= 2 \\x &= -1\end{align}
$-1 < \frac{3}{2}$ なので、$x = -1$ は解です。
2. 検算
- $x = 4$ のとき：$|2(4) - 3| = |8 - 3| = |5| = 5$ ✓
- $x = -1$ のとき：$|2(-1) - 3| = |-2 - 3| = |-5| = 5$ ✓
絶対値方程式の解法パターン
基本形：$|ax + b| = c$ は $ax + b = \pm c$ と考える
場合分け：境界点 $x = -\frac{b}{a}$ で場合分け
検算必須：求めた解が元の条件を満たすか必ず確認