指数方程式を解く問題です。指数関数は成長率の計算、複利計算、人口動態モデルなど、指数的変化を扱う多くの分野で重要です。
指数方程式の解法の基本原理
指数方程式を解く際の基本原理は、両辺の底を同じにすることです。底が同じになれば、指数部分を等しくおくことで方程式を解けます。
1. 底を統一
$2^{x+1} = 8^{x-1}$ において、右辺の $8$ を $2$ の冪で表します：
$8 = 2^3$
したがって：
\begin{align}2^{x+1} &= (2^3)^{x-1} \\2^{x+1} &= 2^{3(x-1)} \\2^{x+1} &= 2^{3x-3}\end{align}
2. 指数を等しくおく
底が同じなので、指数部分を等しくおきます：
\begin{align}x + 1 &= 3x - 3 \\1 + 3 &= 3x - x \\4 &= 2x \\x &= 2\end{align}
3. 検算
$x = 2$ を元の方程式に代入して確認します：
- 左辺：$2^{2+1} = 2^3 = 8$
- 右辺：$8^{2-1} = 8^1 = 8$
左辺 = 右辺なので、解は正しいです。
指数方程式の解法パターン
基本戦略：底を統一してから指数を比較
よく使う変換：$4 = 2^2$、$8 = 2^3$、$9 = 3^2$、$27 = 3^3$
計算の確認：$(a^m)^n = a^{mn}$ の指数法則を正確に適用