<p><strong>分数関数（有理関数）</strong>の性質を分析する問題です。分数関数は、比率や割合を表すモデルとして、経済学や統計学で頻繁に使用されます。</p><h4>分数関数 $f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}$ の一般的性質</h4><ul><li><strong>定義域</strong>：分母が0になる値を除いた実数全体</li><li><strong>垂直漸近線</strong>：分母が0になる $x$ の値</li><li><strong>水平漸近線</strong>：$\lim_{x \to \infty} f(x)$ の値</li></ul><p class='step'>1. 定義域の決定</p><p>$f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$ において、分母が0になる値を求めます：</p><p class='formula'>$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3
lt;/p><p>したがって、定義域は $x ≠ 3$（実数全体から $x = 3$ を除いた集合）です。</p><p class='step'>2. 垂直漸近線</p><p>分母が0になる値 $x = 3$ が垂直漸近線になります。</p><p>$x \to 3$ のときの極限を調べます：</p><ul><li>$x \to 3^+$ のとき：$f(x) \to +\infty
lt;/li><li>$x \to 3^-$ のとき：$f(x) \to -\infty
lt;/li></ul><p class='step'>3. 水平漸近線</p><p>$x \to \infty$ のときの極限を求めます：</p><div class='formula'>\begin{align}\lim_{x \to \infty} \frac{2x + 1}{x - 3} &= \lim_{x \to \infty} \frac{x(2 + \frac{1}{x})}{x(1 - \frac{3}{x})} \\&= \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{3}{x}} \\&= \frac{2 + 0}{1 - 0} = 2\end{align}</div><p>したがって、水平漸近線は $y = 2$ です。</p><p class='step'>4. グラフの概形</p><p>この関数のグラフは：</p><ul><li>$x = 3$ で不連続（垂直漸近線）</li><li>$y = 2$ に水平漸近線を持つ</li><li>双曲線型の形状</li></ul><div class='key-point'><div class='key-point-title'>分数関数の漸近線の見つけ方</div><p><strong>垂直漸近線</strong>：分母 = 0 となる $x$ の値</p><p><strong>水平漸近線</strong>：分子と分母の最高次の係数の比</p><p><strong>計算のコツ</strong>：$\frac{2x + 1}{x - 3} = 2 + \frac{7}{x - 3}$ と変形すると性質が見えやすい</p></div>