分数関数（有理関数）の性質を分析する問題です。分数関数は、比率や割合を表すモデルとして、経済学や統計学で頻繁に使用されます。
分数関数 $f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}$ の一般的性質
- 定義域：分母が0になる値を除いた実数全体
- 垂直漸近線：分母が0になる $x$ の値
- 水平漸近線：$\lim_{x \to \infty} f(x)$ の値
1. 定義域の決定
$f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$ において、分母が0になる値を求めます：
$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$
したがって、定義域は $x ≠ 3$（実数全体から $x = 3$ を除いた集合）です。
2. 垂直漸近線
分母が0になる値 $x = 3$ が垂直漸近線になります。
$x \to 3$ のときの極限を調べます：
- $x \to 3^+$ のとき：$f(x) \to +\infty$
- $x \to 3^-$ のとき：$f(x) \to -\infty$
3. 水平漸近線
$x \to \infty$ のときの極限を求めます：
\begin{align}\lim_{x \to \infty} \frac{2x + 1}{x - 3} &= \lim_{x \to \infty} \frac{x(2 + \frac{1}{x})}{x(1 - \frac{3}{x})} \\&= \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{3}{x}} \\&= \frac{2 + 0}{1 - 0} = 2\end{align}
したがって、水平漸近線は $y = 2$ です。
4. グラフの概形
この関数のグラフは：
- $x = 3$ で不連続（垂直漸近線）
- $y = 2$ に水平漸近線を持つ
- 双曲線型の形状
分数関数の漸近線の見つけ方
垂直漸近線：分母 = 0 となる $x$ の値
水平漸近線：分子と分母の最高次の係数の比
計算のコツ：$\frac{2x + 1}{x - 3} = 2 + \frac{7}{x - 3}$ と変形すると性質が見えやすい