指数関数 $e^x$ の微分は微分積分学の重要な基礎で、自然成長・減衰現象、人口増加、放射性崩壊、複利計算など、多くの自然現象や社会現象のモデル化に使用されます。
指数関数の微分の基本公式
自然対数の底 $e$ を用いた指数関数の微分には、以下の重要な性質があります：
$(e^x)' = e^x$
これは $e^x$ が「微分しても変わらない」特別な関数であることを示しています。
1. 合成関数の微分法（連鎖律）
$f(x) = e^{2x+1}$ は $e^u$ と $u = 2x + 1$ の合成関数なので、連鎖律を使います：
$\frac{d}{dx}[e^{u(x)}] = e^{u(x)} \cdot u'(x)$
2. 内部関数の微分
$u = 2x + 1$ に対して：
$u'(x) = \frac{d}{dx}(2x + 1) = 2$
3. 連鎖律の適用
合成関数の微分法により：
$\begin{align}f'(x) &= \frac{d}{dx}[e^{2x+1}] \\&= e^{2x+1} \cdot \frac{d}{dx}(2x+1) \\&= e^{2x+1} \cdot 2 \\&= 2e^{2x+1}\end{align}$
4. 確認と性質
結果 $f'(x) = 2e^{2x+1}$ を確認してみましょう：
- 元の関数 $f(x) = e^{2x+1}$ は常に正の値
- 導関数 $f'(x) = 2e^{2x+1}$ も常に正の値
- これは $f(x)$ が常に増加関数であることを意味します
5. 実用例での理解
例えば、細菌の個体数が $N(t) = N_0 e^{2t+1}$ で表される場合：
- $N'(t) = 2N_0 e^{2t+1}$ は増加率
- 時刻 $t$ での瞬間的な増加速度を表します
指数関数微分の計算パターン
基本公式：$(e^x)' = e^x$
合成関数：$(e^{f(x)})' = e^{f(x)} \cdot f'(x)$
覚えるコツ：$e^x$ の微分は「元の関数 × 中身の微分」