<p><strong>指数関数 $e^x$ の微分</strong>は微分積分学の重要な基礎で、自然成長・減衰現象、人口増加、放射性崩壊、複利計算など、多くの自然現象や社会現象のモデル化に使用されます。</p><h4>指数関数の微分の基本公式</h4><p>自然対数の底 $e$ を用いた指数関数の微分には、以下の重要な性質があります：</p><p class='formula'>$(e^x)' = e^x
lt;/p><p>これは $e^x$ が「微分しても変わらない」特別な関数であることを示しています。</p><p class='step'>1. 合成関数の微分法（連鎖律）</p><p>$f(x) = e^{2x+1}$ は $e^u$ と $u = 2x + 1$ の合成関数なので、連鎖律を使います：</p><p class='formula'>$\frac{d}{dx}[e^{u(x)}] = e^{u(x)} \cdot u'(x)
lt;/p><p class='step'>2. 内部関数の微分</p><p>$u = 2x + 1$ に対して：</p><p class='formula'>$u'(x) = \frac{d}{dx}(2x + 1) = 2
lt;/p><p class='step'>3. 連鎖律の適用</p><p>合成関数の微分法により：</p><div class='formula'>$\begin{align}f'(x) &= \frac{d}{dx}[e^{2x+1}] \\&= e^{2x+1} \cdot \frac{d}{dx}(2x+1) \\&= e^{2x+1} \cdot 2 \\&= 2e^{2x+1}\end{align}
lt;/div><p class='step'>4. 確認と性質</p><p>結果 $f'(x) = 2e^{2x+1}$ を確認してみましょう：</p><ul><li>元の関数 $f(x) = e^{2x+1}$ は常に正の値</li><li>導関数 $f'(x) = 2e^{2x+1}$ も常に正の値</li><li>これは $f(x)$ が常に増加関数であることを意味します</li></ul><p class='step'>5. 実用例での理解</p><p>例えば、細菌の個体数が $N(t) = N_0 e^{2t+1}$ で表される場合：</p><ul><li>$N'(t) = 2N_0 e^{2t+1}$ は増加率</li><li>時刻 $t$ での瞬間的な増加速度を表します</li></ul><div class='key-point'><div class='key-point-title'>指数関数微分の計算パターン</div><p><strong>基本公式</strong>：$(e^x)' = e^x
lt;/p><p><strong>合成関数</strong>：$(e^{f(x)})' = e^{f(x)} \cdot f'(x)
lt;/p><p><strong>覚えるコツ</strong>：$e^x$ の微分は「元の関数 × 中身の微分」</p></div>