指数関数 $e^x$ の積分と定積分の計算問題です。積分は面積を求める基本的な手法で、確率密度関数の正規化、物理量の累積計算、経済学の総効用計算などに応用されます。
指数関数の積分の基本公式
指数関数 $e^x$ の積分には、微分と同様に美しい性質があります：
$\int e^x dx = e^x + C$
これは $e^x$ が「積分しても（本質的に）変わらない」ことを示しています。
1. 不定積分の確認
まず、$e^x$ の不定積分を確認します：
$\int e^x dx = e^x + C$
検算：$(e^x + C)' = e^x$ ✓
2. 定積分の計算
微分積分学の基本定理により：
\begin{align}\int_0^1 e^x dx &= [e^x]_0^1 \\&= e^1 - e^0 \\&= e - 1\end{align}
3. 幾何学的意味
この定積分は、$y = e^x$ のグラフと $x$ 軸、直線 $x = 0$, $x = 1$ で囲まれた領域の面積を表します。
- $x = 0$ での関数値：$e^0 = 1$
- $x = 1$ での関数値：$e^1 = e \approx 2.718$
- 曲線は上に凸で単調増加
4. 数値確認
$e \approx 2.718$ なので：
$e - 1 \approx 2.718 - 1 = 1.718$
指数関数積分の計算テクニック
基本公式：$\int e^x dx = e^x + C$
定積分の計算：$[e^x]_a^b = e^b - e^a$
重要な値：$e^0 = 1$、$e^1 = e$、$e^{-1} = \frac{1}{e}$