三角関数の積分 - 積分問題2/10 - 青の統計学-DS Playground-

三角関数の積分レベル1

定積分 $\int_0^{\pi/2} (\sin x + \cos x) dx$ の値を求めよ。

解説

三角関数の積分に関する問題です。三角関数の積分は周期的な現象のモデル化や、フーリエ解析の基礎として重要です。

三角関数の積分公式

$\int \sin x dx = -\cos x + C$
$\int \cos x dx = \sin x + C$

1. 不定積分を求める

$\begin{align}\int (\sin x + \cos x) dx &= \int \sin x dx + \int \cos x dx \\&= -\cos x + \sin x + C\end{align}$

2. 定積分を計算

積分の基本定理を用いて定積分を計算します：

$\begin{align}\int_0^{\pi/2} (\sin x + \cos x) dx &= [-\cos x + \sin x]_0^{\pi/2} \\&= \left(-\cos\frac{\pi}{2} + \sin\frac{\pi}{2}\right) - (-\cos 0 + \sin 0) \\&= (0 + 1) - (-1 + 0) \\&= 1 - (-1) = 2\end{align}$

三角関数積分の覚え方

基本公式：$\int \sin x dx = -\cos x + C$、$\int \cos x dx = \sin x + C$

符号の覚え方：sinの積分はマイナスcos

特殊角の値：$\cos \frac{\pi}{2} = 0$、$\sin \frac{\pi}{2} = 1$、$\cos 0 = 1$、$\sin 0 = 0$