置換積分法（Substitution Method）を使用する問題です。置換積分は合成関数の積分において重要な技法で、機械学習の複雑な損失関数の積分計算などで使用されます。
置換積分法の原理
合成関数 $f(g(x)) \cdot g'(x)$ の積分は：
$\int f(g(x)) \cdot g'(x) dx = \int f(u) du$ （$u = g(x)$ と置換）
1. 置換変数の設定
$\int 2x(x^2 + 1)^3 dx$ において、内側の関数に注目します：
$u = x^2 + 1$ と置換すると：
$\frac{du}{dx} = 2x$ より $du = 2x dx$
2. 積分の変換
元の積分を $u$ を用いて表現します：
$\begin{align}\int 2x(x^2 + 1)^3 dx &= \int (x^2 + 1)^3 \cdot 2x dx \\&= \int u^3 du\end{align}$
3. 積分の実行
$\begin{align}\int u^3 du &= \frac{u^{3+1}}{3+1} + C \\&= \frac{u^4}{4} + C\end{align}$
4. 元の変数に戻す
$u = x^2 + 1$ を代入して：
$\int 2x(x^2 + 1)^3 dx = \frac{(x^2 + 1)^4}{4} + C$
置換積分の実行コツ
置換の見つけ方：微分が積分に含まれている内側の関数を$u$とする
$du$の作り方：$u$を微分して$dx$を含む形で表現
戻すのを忘れずに：最後に$u$を元の$x$の式に戻す