<p><strong>置換積分法（Substitution Method）</strong>を使用する問題です。置換積分は合成関数の積分において重要な技法で、機械学習の複雑な損失関数の積分計算などで使用されます。</p><h4>置換積分法の原理</h4><p>合成関数 $f(g(x)) \cdot g'(x)$ の積分は：</p><p class='formula'>$\int f(g(x)) \cdot g'(x) dx = \int f(u) du$ （$u = g(x)$ と置換）</p><p class='step'>1. 置換変数の設定</p><p>$\int 2x(x^2 + 1)^3 dx$ において、内側の関数に注目します：</p><p>$u = x^2 + 1$ と置換すると：</p><p>$\frac{du}{dx} = 2x$ より $du = 2x dx
lt;/p><p class='step'>2. 積分の変換</p><p>元の積分を $u$ を用いて表現します：</p><div class='formula'>$\begin{align}\int 2x(x^2 + 1)^3 dx &= \int (x^2 + 1)^3 \cdot 2x dx \\&= \int u^3 du\end{align}
lt;/div><p class='step'>3. 積分の実行</p><div class='formula'>$\begin{align}\int u^3 du &= \frac{u^{3+1}}{3+1} + C \\&= \frac{u^4}{4} + C\end{align}
lt;/div><p class='step'>4. 元の変数に戻す</p><p>$u = x^2 + 1$ を代入して：</p><div class='formula'>$\int 2x(x^2 + 1)^3 dx = \frac{(x^2 + 1)^4}{4} + C
lt;/div><div class='key-point'><div class='key-point-title'>置換積分の実行コツ</div><p><strong>置換の見つけ方</strong>：微分が積分に含まれている内側の関数を$u$とする</p><p><strong>$du$の作り方</strong>：$u$を微分して$dx$を含む形で表現</p><p><strong>戻すのを忘れずに</strong>：最後に$u$を元の$x$の式に戻す</p></div>