部分積分法（Integration by Parts）を使用する問題です。部分積分は積の微分法則の逆として、複雑な関数の積分において重要な技法です。
部分積分の公式
部分積分の公式は積の微分法則から導かれます：
$\int u dv = uv - \int v du$
1. $u$ と $dv$ の選択
$\int x e^x dx$ において、以下のように設定します：
- $u = x$ なので $du = dx$
- $dv = e^x dx$ なので $v = e^x$
2. 部分積分公式の適用
$\begin{align}\int x e^x dx &= x \cdot e^x - \int e^x dx \\&= xe^x - e^x + C \\&= e^x(x - 1) + C\end{align}$
3. $x = 1$ での値を計算
積分定数を除いた場合：
$\begin{align}f(x) &= e^x(x - 1) \\f(1) &= e^1(1 - 1) = e \cdot 0 = 0\end{align}$
部分積分のコツ
$u$の選び方：LIATE法則（対数→逆三角→代数→三角→指数の順）
計算順序：$u \cdot v - \int v \, du$ の順で計算
簡単になる方を選ぶ：$\int v \, du$が元より簡単になるように$u$を選ぶ