<p><strong>有理関数の積分</strong>と<strong>部分分数分解</strong>を組み合わせた問題です。有理関数の積分は統計学における確率密度関数の正規化や、制御理論でのシステム解析において重要です。</p><h4>部分分数分解の手順</h4><p>分母が因数分解できる有理関数は、より簡単な分数の和として表現できます。</p><p class='step'>1. 分母の因数分解</p><p>$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ と因数分解できます。</p><p class='step'>2. 部分分数分解</p><p>$\frac{1}{x^2-1}$ を部分分数に分解します：</p><div class='formula'>$\frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}
lt;/div><p>両辺に $(x-1)(x+1)$ を掛けると：</p><p>$1 = A(x+1) + B(x-1)
lt;/p><p class='step'>3. 係数の決定</p><p>$x = 1$ のとき：$1 = A(2) + B(0) = 2A$ より $A = \frac{1}{2}
lt;/p><p>$x = -1$ のとき：$1 = A(0) + B(-2) = -2B$ より $B = -\frac{1}{2}
lt;/p><p>したがって：</p><div class='formula'>$\frac{1}{x^2-1} = \frac{1/2}{x-1} + \frac{-1/2}{x+1}
lt;/div><p class='step'>4. 積分の実行</p><div class='formula'>$\begin{align}\int \frac{1}{x^2-1} dx &= \int \left(\frac{1/2}{x-1} - \frac{1/2}{x+1}\right) dx \\&= \frac{1}{2}\ln|x-1| - \frac{1}{2}\ln|x+1| + C \\&= \frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + C\end{align}
lt;/div><div class='key-point'><div class='key-point-title'>部分分数分解のコツ</div><p><strong>分解の形</strong>：$\frac{1}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}
lt;/p><p><strong>係数の求め方</strong>：特定の$x$値を代入して係数を決定</p><p><strong>対数の性質</strong>：$\ln A - \ln B = \ln \frac{A}{B}$を活用</p></div>