有理関数の積分と部分分数分解を組み合わせた問題です。有理関数の積分は統計学における確率密度関数の正規化や、制御理論でのシステム解析において重要です。
部分分数分解の手順
分母が因数分解できる有理関数は、より簡単な分数の和として表現できます。
1. 分母の因数分解
$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ と因数分解できます。
2. 部分分数分解
$\frac{1}{x^2-1}$ を部分分数に分解します：
$\frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$
両辺に $(x-1)(x+1)$ を掛けると：
$1 = A(x+1) + B(x-1)$
3. 係数の決定
$x = 1$ のとき：$1 = A(2) + B(0) = 2A$ より $A = \frac{1}{2}$
$x = -1$ のとき：$1 = A(0) + B(-2) = -2B$ より $B = -\frac{1}{2}$
したがって：
$\frac{1}{x^2-1} = \frac{1/2}{x-1} + \frac{-1/2}{x+1}$
4. 積分の実行
$\begin{align}\int \frac{1}{x^2-1} dx &= \int \left(\frac{1/2}{x-1} - \frac{1/2}{x+1}\right) dx \\&= \frac{1}{2}\ln|x-1| - \frac{1}{2}\ln|x+1| + C \\&= \frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + C\end{align}$
部分分数分解のコツ
分解の形：$\frac{1}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}$
係数の求め方：特定の$x$値を代入して係数を決定
対数の性質：$\ln A - \ln B = \ln \frac{A}{B}$を活用