定積分による面積計算の応用問題です。このような面積計算は、確率論での確率の計算や、データ分布の重なり具合の定量化などで重要な概念です。
曲線で囲まれた面積の求め方
- 2つの曲線の交点を求める
- 積分区間を決定する
- 上の関数から下の関数を引いた関数を積分
1. 交点の計算
$y = x^2$ と $y = 2x$ の交点を求めます：
$\begin{align}x^2 &= 2x \\x^2 - 2x &= 0 \\x(x - 2) &= 0\end{align}$
したがって、交点は $(0, 0)$ と $(2, 4)$ です。
2. どちらの関数が上にあるかを確認
$0 < x < 2$ の範囲で、例えば $x = 1$ において：
- $y = x^2$：$y = 1^2 = 1$
- $y = 2x$：$y = 2 \cdot 1 = 2$
よって、$y = 2x$ が上側、$y = x^2$ が下側にあります。
3. 面積の計算
求める面積は：
$\begin{align}S &= \int_0^2 (2x - x^2) dx \\&= \left[x^2 - \frac{x^3}{3}\right]_0^2 \\&= \left(2^2 - \frac{2^3}{3}\right) - \left(0^2 - \frac{0^3}{3}\right) \\&= 4 - \frac{8}{3} \\&= \frac{12 - 8}{3} = \frac{4}{3}\end{align}$
面積計算の手順
交点を求める：2つの関数を等しくおいて解く
上下の確認：区間内の点で関数値を比較
積分の公式：面積 = $\int_a^b |上の関数 - 下の関数| dx$