重積分（Double Integration）の基本問題です。重積分は多変数関数の解析において基本的な道具で、確率論での同時確率密度関数の計算や、機械学習での多次元データの解析で重要です。
重積分の計算方法
長方形領域での重積分は、逐次積分として計算できます：
$\iint_D f(x,y) \, dA = \int_a^b \int_c^d f(x,y) \, dy \, dx$
1. 積分順序の決定
領域 $D: 0 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq 1$ において、$y$ から先に積分します：
$\iint_D xy \, dA = \int_0^2 \int_0^1 xy \, dy \, dx$
2. 内側の積分（$y$ について）
$x$ を定数として扱い、$y$ について積分します：
\begin{align}\int_0^1 xy \, dy &= x \int_0^1 y \, dy \\&= x \left[\frac{y^2}{2}\right]_0^1 \\&= x \cdot \frac{1^2}{2} \\&= \frac{x}{2}\end{align}
3. 外側の積分（$x$ について）
$\begin{align}\int_0^2 \frac{x}{2} \, dx &= \frac{1}{2} \int_0^2 x \, dx \\&= \frac{1}{2} \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^2 \\&= \frac{1}{2} \cdot \frac{2^2}{2} \\&= \frac{1}{2} \cdot 2 = 1\end{align}$
重積分の計算手順
積分順序：通常は内側から外側へ順番に積分
定数扱い：積分変数以外は定数として扱う
逐次積分：1つずつ変数について積分を実行