期待値計算への積分の応用問題です。期待値の計算は統計学とデータサイエンスの基礎概念で、機械学習の損失関数やリスク評価において中心的な役割を果たします。
連続確率変数の期待値
確率密度関数 $f(x)$ を持つ連続確率変数 $X$ の期待値は：
$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$
1. 確率密度関数の確認
まず、与えられた関数が確率密度関数の条件を満たすことを確認します：
\begin{align}\int_{-1}^1 \frac{3}{2}x^2 dx &= \frac{3}{2} \int_{-1}^1 x^2 dx \\&= \frac{3}{2} \left[\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^1 \\&= \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}(1^3 - (-1)^3) \\&= \frac{1}{2}(1 - (-1)) = 1 \quad ✓\end{align}
2. 期待値の計算
期待値 $E[X]$ を計算します：
\begin{align}E[X] &= \int_{-1}^1 x \cdot \frac{3}{2}x^2 dx \\&= \frac{3}{2} \int_{-1}^1 x^3 dx \\&= \frac{3}{2} \left[\frac{x^4}{4}\right]_{-1}^1 \\&= \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4}(1^4 - (-1)^4) \\&= \frac{3}{8}(1 - 1) = 0\end{align}
3. 結果の解釈
期待値が0になる理由：
- 確率密度関数 $f(x) = \frac{3}{2}x^2$ は偶関数
- 積分区間 $[-1, 1]$ は原点対称
- $x \cdot f(x) = x \cdot \frac{3}{2}x^2 = \frac{3}{2}x^3$ は奇関数
- 奇関数の対称区間での積分は0
期待値計算のコツ
期待値の公式：$E[X] = \int x f(x) dx$
対称性の活用：奇関数×対称区間 = 0
確率密度の確認：$\int f(x) dx = 1$ であることを確認