<p>この問題では<strong>有理関数の極限</strong>の基本的な計算方法を学習します。このような極限計算は微分の定義や連続性の理解において重要で、機械学習における勾配計算の理論的基盤となります。</p><h4>不定形の処理</h4><p>直接代入すると $\frac{2^2 - 4}{2 - 2} = \frac{0}{0}$ となり、これは<strong>不定形</strong>です。不定形の場合は、代数的操作により約分や変形を行う必要があります。</p><p class='step'>1. 分子の因数分解</p><p>$x^2 - 4$ は二乗の差の公式を使って因数分解できます：</p><p>$x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)
lt;/p><p class='step'>2. 約分による簡約</p><p>元の式を書き直すと：</p><p class='formula'>$\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x + 2)(x - 2)}{x - 2}
lt;/p><p>$x ≠ 2$ の範囲では $(x - 2)$ で約分できます：</p><p>$\frac{(x + 2)(x - 2)}{x - 2} = x + 2 \quad (x ≠ 2)
lt;/p><p class='step'>3. 極限の計算</p><p>簡約後の式に対して極限を計算します：</p><p>$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4
lt;/p><p class='step'>4. 検算と理解</p><p>この結果は、関数 $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ が $x = 2$ で穴あき関数（除去可能な不連続点）を持つことを示しています。</p><p>$x = 2$ 近傍での値を確認：</p><ul><li>$x = 1.9$: $f(1.9) = 1.9 + 2 = 3.9
lt;/li><li>$x = 2.1$: $f(2.1) = 2.1 + 2 = 4.1
lt;/li></ul><p>$x \to 2$ のとき $f(x) \to 4$ であることが確認できます。</p><div class='key-point'><div class='key-point-title'>極限計算の実用的意義</div><p>このような極限計算は以下の分野で重要な役割を果たします：</p><ul><li><strong>微分の定義</strong>: $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
lt;/li><li><strong>機械学習</strong>: 勾配計算における差分近似の理論的基盤</li><li><strong>数値解析</strong>: 不安定な計算の回避方法</li><li><strong>経済学</strong>: 限界効用・限界費用の概念</li></ul></div>