極限

この問題では有理関数の極限の基本的な計算方法を学習します。このような極限計算は微分の定義や連続性の理解において重要で、機械学習における勾配計算の理論的基盤となります。

不定形の処理

直接代入すると $\frac{2^2 - 4}{2 - 2} = \frac{0}{0}$ となり、これは不定形です。不定形の場合は、代数的操作により約分や変形を行う必要があります。

1. 分子の因数分解

$x^2 - 4$ は二乗の差の公式を使って因数分解できます：

$x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$

2. 約分による簡約

元の式を書き直すと：

$\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x + 2)(x - 2)}{x - 2}$

$x ≠ 2$ の範囲では $(x - 2)$ で約分できます：

$\frac{(x + 2)(x - 2)}{x - 2} = x + 2 \quad (x ≠ 2)$

3. 極限の計算

簡約後の式に対して極限を計算します：

$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4$

4. 検算と理解

この結果は、関数 $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ が $x = 2$ で穴あき関数（除去可能な不連続点）を持つことを示しています。

$x = 2$ 近傍での値を確認：

• $x = 1.9$: $f(1.9) = 1.9 + 2 = 3.9$
• $x = 2.1$: $f(2.1) = 2.1 + 2 = 4.1$

$x \to 2$ のとき $f(x) \to 4$ であることが確認できます。