極限

この問題では三角関数の最も重要な極限の一つを学習します。この極限は三角関数の微分公式の導出において基本となり、フーリエ解析や信号処理の理論的基盤として重要です。

幾何学的アプローチ

この極限の値は挟み撃ちの定理（サンドイッチ定理）を用いて厳密に証明できますが、まず幾何学的直感から理解しましょう。

1. 単位円での幾何学的解釈

単位円において、中心角 $x$ ラジアンに対して：

• 弧の長さ = $x$
• 弦の長さ = $2\sin(\frac{x}{2})$
• $x$ が小さいとき、弧と弦はほぼ等しくなる

2. 面積による挟み撃ち

$0 < x < \frac{\pi}{2}$ のとき、以下の不等式が成り立ちます：

$\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$

これは以下の面積関係から導かれます（O を原点、A$(1,0)$、B$(\cos x, \sin x)$、T$(1, \tan x)$ とする）：

• △OAB の面積 $< $ 扇形 OAB の面積 $< $ △OAT の面積
• $\frac{1}{2}\sin x < \frac{1}{2}x < \frac{1}{2}\tan x$、すなわち $\sin x < x < \tan x$
• 各辺を $\sin x\,(>0)$ で割って逆数をとると $\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$

3. 極限の計算

$x \to 0$ のとき $\cos x \to 1$ なので、挟み撃ちの定理により：

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

4. 数値的確認

具体的な値で確認してみましょう：

• $x = 0.1$: $\frac{\sin(0.1)}{0.1} \approx \frac{0.0998}{0.1} = 0.998$
• $x = 0.01$: $\frac{\sin(0.01)}{0.01} \approx \frac{0.0099998}{0.01} = 0.99998$
• $x = 0.001$: $\frac{\sin(0.001)}{0.001} \approx 0.9999998$

$x \to 0$ のとき値が 1 に収束することが確認できます。

5. 他の派生極限

この結果から、以下の極限も導けます：

• $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$
• $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$