三角関数の重要な極限 - 問題演習問題2

三角関数の重要な極限レベル1

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ の値はいくらか。

解説

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この問題では三角関数の最も重要な極限の一つを学習します。この極限は三角関数の微分公式の導出において基本となり、フーリエ解析や信号処理の理論的基盤として重要です。<h4>幾何学的アプローチ</h4>この極限の値は挟み撃ちの定理（サンドイッチ定理）を用いて厳密に証明できますが、まず幾何学的直感から理解しましょう。1. 単位円での幾何学的解釈単位円において、中心角 $x$ ラジアンに対して：<ul><li>弧の長さ = $x

lt;/li><li>弦の長さ = $2\sin(\frac{x}{2})

lt;/li><li>$x$ が小さいとき、弧と弦はほぼ等しくなる</li></ul>2. 面積による挟み撃ち$0 < x < \frac{\pi}{2}$ のとき、以下の不等式が成り立ちます：$\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1

lt;/p>これは以下の面積関係から導かれます：<ul><li>△OAC の面積 $< $ 扇形 OAC の面積 $< $ △OAT の面積</li><li>$\frac{1}{2}\cos x < \frac{1}{2}x < \frac{1}{2}\tan x

lt;/li></ul>3. 極限の計算$x \to 0$ のとき $\cos x \to 1$ なので、挟み撃ちの定理により：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

lt;/p>4. 数値的確認具体的な値で確認してみましょう：<ul><li>$x = 0.1$: $\frac{\sin(0.1)}{0.1} \approx \frac{0.0998}{0.1} = 0.998

lt;/li><li>$x = 0.01$: $\frac{\sin(0.01)}{0.01} \approx \frac{0.00999}{0.01} = 0.9999

lt;/li><li>$x = 0.001$: $\frac{\sin(0.001)}{0.001} \approx 0.999999

lt;/li></ul>$x \to 0$ のとき値が 1 に収束することが確認できます。5. 他の派生極限この結果から、以下の極限も導けます：<ul><li>$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}

lt;/li><li>$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1

lt;/li></ul>