極限

この問題では自然対数の底 $e$ の定義として知られる重要な極限を学習します。この極限は複利計算、確率論、微分方程式など、数学と応用分野の多くの場面で現れる基本的な概念です。

自然対数の底 $e$ の導入

この極限の値は数学定数 $e \approx 2.71828...$ として知られており、自然対数の底として定義されます。

1. 複利計算からの動機

この極限は元々、複利の計算から生まれました：

• 元本1円を年利100%で1年間複利運用
• 年 $n$ 回複利計算すると: $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$
• $n \to \infty$ （連続複利）での極限値

2. 数値的な観察

$x$ の値を大きくしていくと：

• $x = 10$: $\left(1 + \frac{1}{10}\right)^{10} = (1.1)^{10} \approx 2.594$
• $x = 100$: $\left(1 + \frac{1}{100}\right)^{100} \approx 2.705$
• $x = 1000$: $\left(1 + \frac{1}{1000}\right)^{1000} \approx 2.717$
• $x = 10000$: $\left(1 + \frac{1}{10000}\right)^{10000} \approx 2.718$

値が $e \approx 2.71828...$ に収束していることが分かります。

3. 対数による解析

$y = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ とすると：

$\ln y = x \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)$

$\frac{1}{x} = t$ と置換すると $x \to \infty$ のとき $t \to 0$ なので：

$\ln y = \frac{\ln(1 + t)}{t}$

$\lim_{t \to 0} \frac{\ln(1 + t)}{t} = 1$ （これは $\ln$ の導関数の定義）

したがって $\lim_{x \to \infty} \ln y = 1$ より $\lim_{x \to \infty} y = e^1 = e$

4. 関連する重要な極限

この基本極限から以下が導かれます：

• $\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$
• $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$
• $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$