極限

<p>この問題では<strong>自然対数の底 $e$ の定義</strong>として知られる重要な極限を学習します。この極限は複利計算、確率論、微分方程式など、数学と応用分野の多くの場面で現れる基本的な概念です。</p><h4>自然対数の底 $e$ の導入</h4><p>この極限の値は数学定数 $e \approx 2.71828...$ として知られており、自然対数の底として定義されます。</p><p class='step'>1. 複利計算からの動機</p><p>この極限は元々、複利の計算から生まれました：</p><ul><li>元本1円を年利100%で1年間複利運用</li><li>年 $n$ 回複利計算すると: $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^nlt;/li><li>$n \to \infty$ （連続複利）での極限値</li></ul><p class='step'>2. 数値的な観察</p><p>$x$ の値を大きくしていくと：</p><ul><li>$x = 10$: $\left(1 + \frac{1}{10}\right)^{10} = (1.1)^{10} \approx 2.594lt;/li><li>$x = 100$: $\left(1 + \frac{1}{100}\right)^{100} \approx 2.705lt;/li><li>$x = 1000$: $\left(1 + \frac{1}{1000}\right)^{1000} \approx 2.717lt;/li><li>$x = 10000$: $\left(1 + \frac{1}{10000}\right)^{10000} \approx 2.718lt;/li></ul><p>値が $e \approx 2.71828...$ に収束していることが分かります。</p><p class='step'>3. 対数による解析</p><p>$y = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ とすると：</p><p>$\ln y = x \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)lt;/p><p>$\frac{1}{x} = t$ と置換すると $x \to \infty$ のとき $t \to 0$ なので：</p><p>$\ln y = \frac{\ln(1 + t)}{t}lt;/p><p>$\lim_{t \to 0} \frac{\ln(1 + t)}{t} = 1$ （これは $\ln$ の導関数の定義）</p><p>したがって $\lim_{x \to \infty} \ln y = 1$ より $\lim_{x \to \infty} y = e^1 = elt;/p><p class='step'>4. 関連する重要な極限</p><p>この基本極限から以下が導かれます：</p><ul><li>$\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = elt;/li><li>$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1lt;/li><li>$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1lt;/li></ul><div class='key-point'><div class='key-point-title'>自然対数の底の重要性</div><p>定数 $e$ は以下の分野で基本的な役割を果たします：</p><ul><li><strong>複利計算</strong>: 連続複利における成長率</li><li><strong>確率論</strong>: ポアソン分布、指数分布の基本定数</li><li><strong>微分方程式</strong>: 指数的成長・減衰の記述</li><li><strong>機械学習</strong>: ソフトマックス関数、シグモイド関数の基礎</li></ul></div>