極限

数列の極限、関数の極限、無限級数。微分積分学や確率論の理論的基礎となる概念

無限大での多項式の極限レベル1

$\lim_{x \to \infty} \frac{3x^3 - 2x^2 + 1}{2x^3 + x - 5}$ を求めよ。

解説

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この問題では有理関数の無限大での極限の計算方法を学習します。このような極限計算は、関数の漸近的挙動を理解する上で重要で、機械学習における計算複雑度の解析や、数値計算の安定性評価に応用されます。

$x \to \infty$ での有理関数の極限は、分子と分母の最高次項によって決まります。他の項は相対的に無視できるほど小さくなるためです。

1. 最高次項の特定

与えられた関数を分析します：

2. 最高次項で割る方法

分子・分母を最高次項 $x^3$ で割ります：

$\frac{3x^3 - 2x^2 + 1}{2x^3 + x - 5} = \frac{\frac{3x^3 - 2x^2 + 1}{x^3}}{\frac{2x^3 + x - 5}{x^3}}$

$= \frac{3 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^3}}{2 + \frac{1}{x^2} - \frac{5}{x^3}}$

3. 極限の計算

$x \to \infty$ のとき：

したがって：

$\lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^3}}{2 + \frac{1}{x^2} - \frac{5}{x^3}} = \frac{3 - 0 + 0}{2 + 0 - 0} = \frac{3}{2}$

4. 一般的なルール

有理関数 $\frac{a_n x^n + ... + a_0}{b_m x^m + ... + b_0}$ の $x \to \infty$ での極限：

この問題では $n = m = 3$ で $a_3 = 3$, $b_3 = 2$ なので、極限は $\frac{3}{2}$ です。

5. 数値的確認

大きな $x$ での値を確認：

$x = 100$: $\frac{3(100)^3 - 2(100)^2 + 1}{2(100)^3 + 100 - 5} \approx \frac{2980001}{2000095} \approx 1.49$
$x = 1000$: より 1.5 に近い値

漸近挙動の重要性

関数の無限大での極限は以下の分野で重要です：

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