無限大での多項式の極限 - 問題演習問題4

無限大での多項式の極限レベル1

$\lim_{x \to \infty} \frac{3x^3 - 2x^2 + 1}{2x^3 + x - 5}$ を求めよ。

解説

解答と解説を表示

この問題では有理関数の無限大での極限の計算方法を学習します。このような極限計算は、関数の漸近的挙動を理解する上で重要で、機械学習における計算複雑度の解析や、数値計算の安定性評価に応用されます。<h4>最高次項による支配の原理</h4>$x \to \infty$ での有理関数の極限は、分子と分母の最高次項によって決まります。他の項は相対的に無視できるほど小さくなるためです。1. 最高次項の特定与えられた関数を分析します：<ul><li>分子: $3x^3 - 2x^2 + 1$ → 最高次項は $3x^3

lt;/li><li>分母: $2x^3 + x - 5$ → 最高次項は $2x^3

lt;/li></ul>2. 最高次項で割る方法分子・分母を最高次項 $x^3$ で割ります：$\frac{3x^3 - 2x^2 + 1}{2x^3 + x - 5} = \frac{\frac{3x^3 - 2x^2 + 1}{x^3}}{\frac{2x^3 + x - 5}{x^3}}

lt;/p>$= \frac{3 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^3}}{2 + \frac{1}{x^2} - \frac{5}{x^3}}

lt;/p>3. 極限の計算$x \to \infty$ のとき：<ul><li>$\frac{1}{x} \to 0

lt;/li><li>$\frac{1}{x^2} \to 0

lt;/li><li>$\frac{1}{x^3} \to 0

lt;/li></ul>したがって：$\lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^3}}{2 + \frac{1}{x^2} - \frac{5}{x^3}} = \frac{3 - 0 + 0}{2 + 0 - 0} = \frac{3}{2}

lt;/p>4. 一般的なルール有理関数 $\frac{a_n x^n + ... + a_0}{b_m x^m + ... + b_0}$ の $x \to \infty$ での極限：<ul><li>$n < m$ のとき: 極限は 0</li><li>$n = m$ のとき: 極限は $\frac{a_n}{b_m}

lt;/li><li>$n > m$ のとき: 極限は $\pm \infty

lt;/li></ul>この問題では $n = m = 3$ で $a_3 = 3$, $b_3 = 2$ なので、極限は $\frac{3}{2}$ です。5. 数値的確認大きな $x$ での値を確認：<ul><li>$x = 100$: $\frac{3(100)^3 - 2(100)^2 + 1}{2(100)^3 + 100 - 5} \approx \frac{2980001}{2000095} \approx 1.49

lt;/li><li>$x = 1000$: より 1.5 に近い値</li></ul><div class='key-point'><div class='key-point-title'>漸近挙動の重要性</div>関数の無限大での極限は以下の分野で重要です：<ul><li>計算複雑度: アルゴリズムの時間・空間計算量の解析</li><li>数値解析: 近似アルゴリズムの収束速度評価</li><li>統計学: 大標本理論における漸近的性質</li><li>機械学習: 深層学習における勾配の挙動解析</li></ul></div>