極限

数列の極限、関数の極限、無限級数。微分積分学や確率論の理論的基礎となる概念

ロピタルの定理の応用レベル2

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$ をロピタルの定理を用いて求めよ。

解説

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ロピタルの定理は不定形の極限を計算する強力な道具です。この定理は機械学習における損失関数の解析や、数値最適化アルゴリズムの収束性解析において重要な役割を果たします。

$\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0$ または $\pm \infty$ で、$g'(x) ≠ 0$ のとき：

$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

（右辺の極限が存在する場合）

1. 不定形の確認

$x \to 0$ のとき：

$\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理が適用できます。

2. 第1回の微分

分子と分母をそれぞれ微分します：

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x}$

3. 再び不定形の確認

$x \to 0$ のとき：

再び $\frac{0}{0}$ の不定形なので、もう一度ロピタルの定理を適用します。

4. 第2回の微分

再度微分します：

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2}$

5. 極限の計算

もはや不定形ではないので、直接代入できます：

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{e^0}{2} = \frac{1}{2}$

6. テイラー展開による検算

$e^x$ のテイラー展開を用いて検算します：

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ...$

$e^x - 1 - x = \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + ...$

$\frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \frac{\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + ...}{x^2} = \frac{1}{2} + \frac{x}{6} + ...$

$x \to 0$ のとき $\frac{1}{2}$ に収束することが確認できます。

ロピタルの定理の応用分野

ロピタルの定理は以下の分野で重要な計算手法です：

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