極限

数列の極限、関数の極限、無限級数。微分積分学や確率論の理論的基礎となる概念

挟み撃ちの定理レベル2

$\lim_{x \to 0} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)$ を求めよ。

解説

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挟み撃ちの定理（サンドイッチ定理）は、直接計算が困難な極限を求める際の重要な手法です。特に振動する関数や複雑な合成関数の極限計算において威力を発揮し、数値解析の誤差評価にも応用されます。

$g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ で $\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L$ のとき：

$\lim_{x \to a} f(x) = L$

1. 問題の分析

$f(x) = x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)$ において：

2. 不等式の設定

$\sin$ 関数の基本性質 $-1 \leq \sin \theta \leq 1$ を利用します：

$-1 \leq \sin\left(\frac{1}{x}\right) \leq 1$

両辺に $x^2$ を掛けます（$x^2 \geq 0$ なので不等号の向きは変わりません）：

$-x^2 \leq x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) \leq x^2$

3. 挟み撃ちの準備

設定した不等式：$-x^2 \leq x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) \leq x^2$

ここで：

4. 両端の極限計算

$x \to 0$ のときの両端の極限：

両端の極限が等しく 0 なので、挟み撃ちの定理により：

$\lim_{x \to 0} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0$

5. 視覚的理解

この関数の挙動：

6. 数値的確認

具体例での確認：

挟み撃ちの定理の応用

挟み撃ちの定理は以下の場面で重要な役割を果たします：

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