連続性と極限の関係を学習する問題です。関数の連続性は機械学習における損失関数の滑らかさや最適化アルゴリズムの安定性を保証する重要な概念で、実用的なシステム設計において不可欠です。
連続性の定義
関数 $f(x)$ が点 $x = a$ で連続であるとは：
$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$
これは以下の3つの条件と同値です：
- $f(a)$ が定義されている
- $\lim_{x \to a} f(x)$ が存在する
- $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$
1. $x = 1$ での極限の計算
$x ≠ 1$ のとき $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ なので、$\lim_{x \to 1} f(x)$ を求めます。
直接代入すると $\frac{1^2 - 1}{1 - 1} = \frac{0}{0}$ で不定形です。
分子を因数分解します：
$x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)$
したがって：
$\frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x + 1)(x - 1)}{x - 1} = x + 1 \quad (x ≠ 1)$
2. 極限値の決定
$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2$
3. 連続性の条件
$f(x)$ が $x = 1$ で連続になるためには：
$\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$
つまり：$2 = k$
したがって $k = 2$ です。
4. 連続性の確認
$k = 2$ のとき、関数は：
$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = x + 1 & (x ≠ 1) \\ 2 & (x = 1) \end{cases}$
実質的に $f(x) = x + 1$ と同じ関数になり、$x = 1$ で連続です。
5. 除去可能な不連続点
この問題は除去可能な不連続点の例です：
- 元の関数は $x = 1$ で定義されていない
- 適切な値を定義することで連続関数にできる
- 「穴を埋める」ことで連続性を回復
6. 幾何学的解釈
グラフ的には：
- $y = x + 1$ の直線から点 $(1, 2)$ を除いた関数
- $k = 2$ で点 $(1, 2)$ を「補完」
- 完全な直線として連続関数になる