極限

数列の極限、関数の極限、無限級数。微分積分学や確率論の理論的基礎となる概念

εδ論法による厳密な定義レベル3

$\lim_{x \to 2} (3x - 1) = 5$ をεδ論法で証明するとき、$\varepsilon > 0$ に対して適切な $\delta$ の値はどれか。

解説

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εδ論法は極限の厳密な定義を与える数学の基本概念です。この論法は数値解析における収束判定基準や機械学習アルゴリズムの理論的保証を与える際の重要な道具となります。

$\lim_{x \to a} f(x) = L$ であるとは：

任意の $\varepsilon > 0$ に対して、ある $\delta > 0$ が存在し、
$0 < |x - a| < \delta$ ならば $|f(x) - L| < \varepsilon$

1. 問題の設定

証明すべき極限：$\lim_{x \to 2} (3x - 1) = 5$

ここで：

2. εδ条件の展開

$|f(x) - L| < \varepsilon$ の条件を展開します：

$|(3x - 1) - 5| < \varepsilon$

$|3x - 6| < \varepsilon$

$|3(x - 2)| < \varepsilon$

$3|x - 2| < \varepsilon$

$|x - 2| < \frac{\varepsilon}{3}$

3. δの決定

εδ論法の条件 $0 < |x - a| < \delta$ と比較すると：

$0 < |x - 2| < \delta$ において $|x - 2| < \frac{\varepsilon}{3}$ が成り立てば良い

したがって、$\delta = \frac{\varepsilon}{3}$ と設定すれば条件を満たします。

4. 証明の完成

任意の $\varepsilon > 0$ に対して $\delta = \frac{\varepsilon}{3}$ とおくと：

$0 < |x - 2| < \delta = \frac{\varepsilon}{3}$ のとき：

$|(3x - 1) - 5| = 3|x - 2| < 3 \cdot \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon$

これでεδ論法による証明が完成します。

5. 幾何学的解釈

この証明の意味：

6. 一般化

一次関数 $f(x) = ax + b$ に対する $\lim_{x \to c} f(x) = ac + b$ の場合：

$\delta = \frac{\varepsilon}{|a|}$ （$a ≠ 0$）

傾きが大きいほど、より厳しい $\delta$ が必要になります。

εδ論法の現代的意義

εδ論法は以下の分野で理論的基盤を提供します：

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