二重極限（多変数関数の極限）の概念を学習する問題です。多変数の極限は機械学習における多次元最適化や、画像処理における近傍操作の理論的基盤となる重要な概念です。
多変数関数の極限
関数 $f(x,y)$ が点 $(a,b)$ で極限 $L$ を持つとは：
$(x,y) \to (a,b)$ のあらゆる経路で $f(x,y) \to L$
極限が存在するためには、どのような経路で近づいても同じ値に収束する必要があります。
1. 関数の分析
$f(x,y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}$ は原点以外で定義される有理関数です。
原点 $(0,0)$ での挙動を調べるため、異なる経路でのアプローチを考察します。
2. 座標軸に沿ったアプローチ
$x$ 軸に沿って（$y = 0$）:
$f(x,0) = \frac{x \cdot 0}{x^2 + 0^2} = \frac{0}{x^2} = 0$ （$x ≠ 0$）
$\lim_{x \to 0} f(x,0) = 0$
$y$ 軸に沿って（$x = 0$）:
$f(0,y) = \frac{0 \cdot y}{0^2 + y^2} = \frac{0}{y^2} = 0$ （$y ≠ 0$）
$\lim_{y \to 0} f(0,y) = 0$
3. 対角線に沿ったアプローチ
直線 $y = x$ に沿って:
$f(x,x) = \frac{x \cdot x}{x^2 + x^2} = \frac{x^2}{2x^2} = \frac{1}{2}$ （$x ≠ 0$）
$\lim_{x \to 0} f(x,x) = \frac{1}{2}$
4. 別の対角線でのアプローチ
直線 $y = -x$ に沿って:
$f(x,-x) = \frac{x \cdot (-x)}{x^2 + (-x)^2} = \frac{-x^2}{2x^2} = -\frac{1}{2}$ （$x ≠ 0$）
$\lim_{x \to 0} f(x,-x) = -\frac{1}{2}$
5. 極限の非存在の結論
異なる経路で異なる極限値が得られました：
- 座標軸経路: 0
- $y = x$ 経路: $\frac{1}{2}$
- $y = -x$ 経路: $-\frac{1}{2}$
経路依存性があるため、$(x,y) \to (0,0)$ での極限は存在しません。
6. 極座標による一般的解析
$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ とおくと：
$f(r\cos\theta, r\sin\theta) = \frac{r\cos\theta \cdot r\sin\theta}{r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta} = \frac{r^2\cos\theta\sin\theta}{r^2} = \cos\theta\sin\theta$
この値は $\theta$ に依存し、$r \to 0$ でも一定値になりません。
多変数極限の重要性
多変数関数の極限は以下の分野で重要です：
- 機械学習: 多次元パラメータ空間での収束性
- 画像処理: 画素近傍での連続性
- 数値最適化: 勾配法の収束判定
- 物理学: 場の理論における連続性