行列の積は線形代数の基本演算で、データサイエンスにおけるデータ変換、機械学習における重み行列の計算、画像処理における変換行列など、あらゆる場面で使用される重要な操作です。
行列の積の定義
$(m \times n)$ 行列 $A$ と $(n \times p)$ 行列 $B$ の積 $AB$ は $(m \times p)$ 行列となり、その $(i,j)$ 成分は：
$(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj}$
1. 行列の積の計算可能性の確認
行列 $A$：$2 \times 2$ 行列
行列 $B$：$2 \times 2$ 行列
$A$ の列数 = $B$ の行数 = 2 なので、積 $AB$ は計算可能で、結果は $2 \times 2$ 行列になります。
2. $(1,1)$ 成分の計算
$(AB)_{11} = A_{11} \cdot B_{11} + A_{12} \cdot B_{21} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = 2 - 1 = 1$
3. $(1,2)$ 成分の計算
$(AB)_{12} = A_{11} \cdot B_{12} + A_{12} \cdot B_{22} = 2 \cdot 2 + 1 \cdot 3 = 4 + 3 = 7$
4. $(2,1)$ 成分の計算
$(AB)_{21} = A_{21} \cdot B_{11} + A_{22} \cdot B_{21} = 3 \cdot 1 + 4 \cdot (-1) = 3 - 4 = -1$
5. $(2,2)$ 成分の計算
$(AB)_{22} = A_{21} \cdot B_{12} + A_{22} \cdot B_{22} = 3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 = 6 + 12 = 18$
6. 結果の整理
$AB = \begin{pmatrix} 1 & 7 \\ -1 & 18 \end{pmatrix}$
7. 行と列の積の視覚的理解
行列の積は「行×列」の内積の組み合わせとして理解できます：
- $(1,1)$ 成分：$A$ の第1行と $B$ の第1列の内積
- $(1,2)$ 成分：$A$ の第1行と $B$ の第2列の内積
- $(2,1)$ 成分：$A$ の第2行と $B$ の第1列の内積
- $(2,2)$ 成分：$A$ の第2行と $B$ の第2列の内積
行列積の計算コツ
計算順序：「行×列」の内積を意識して計算
サイズ確認：$(m×n) × (n×p) = (m×p)$ の法則
間違いやすいポイント：行列の積は非可換（$AB ≠ BA$）