線形代数

行列式は正方行列に対して定義されるスカラー値で、行列の「大きさ」や線形変換の「体積変化率」を表す重要な概念です。機械学習では逆行列の存在判定や、多変量正規分布の密度関数計算などに使用されます。

2×2行列の行列式の公式

$2 \times 2$ 行列 $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ の行列式は：

1. 公式の適用

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ において：

• $a = 3$
• $b = -2$
• $c = 1$
• $d = 4$

2. 行列式の計算

3. 計算の確認

順序を間違えないよう注意深く計算：

• 主対角成分の積：$3 \times 4 = 12$
• 副対角成分の積：$(-2) \times 1 = -2$
• 差：$12 - (-2) = 14$

4. 幾何学的意味

行列式の絶対値 $|\det(A)| = 14$ は、行列 $A$ による線形変換での面積の変化倍率を表します。

$\det(A) > 0$ なので、変換は向きを保持します（右手系を右手系に変換）。

5. 逆行列の存在性

$\det(A) = 14 \neq 0$ なので、行列 $A$ は可逆行列（逆行列が存在）です。