行列式は正方行列に対して定義されるスカラー値で、行列の「大きさ」や線形変換の「体積変化率」を表す重要な概念です。機械学習では逆行列の存在判定や、多変量正規分布の密度関数計算などに使用されます。
2×2行列の行列式の公式
$2 \times 2$ 行列 $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ の行列式は：
$\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$
1. 公式の適用
与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ において：
- $a = 3$
- $b = -2$
- $c = 1$
- $d = 4$
2. 行列式の計算
$\det(A) = ad - bc = 3 \cdot 4 - (-2) \cdot 1 = 12 - (-2) = 12 + 2 = 14$
3. 計算の確認
順序を間違えないよう注意深く計算：
- 主対角成分の積：$3 \times 4 = 12$
- 副対角成分の積：$(-2) \times 1 = -2$
- 差：$12 - (-2) = 14$
4. 幾何学的意味
行列式の絶対値 $|\det(A)| = 14$ は、行列 $A$ による線形変換での面積の変化倍率を表します。
$\det(A) > 0$ なので、変換は向きを保持します（右手系を右手系に変換）。
5. 逆行列の存在性
$\det(A) = 14 \neq 0$ なので、行列 $A$ は可逆行列（逆行列が存在）です。
$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{14} \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$
行列式計算のコツ
基本公式：$\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$
符号に注意：副対角成分の積は引く
応用：$\det(A) ≠ 0$ ⟺ 逆行列存在