逆行列の存在条件

逆行列の存在条件レベル1

以下の行列のうち、逆行列が存在するものはどれか。

解説

逆行列の存在条件を学習する問題です。逆行列は機械学習における最小二乗法、正規方程式の求解、主成分分析など、多くのアルゴリズムで重要な役割を果たします。

正方行列 $A$ が逆行列を持つ必要十分条件は：

$\det(A) \neq 0$

これを正則行列（可逆行列）と呼びます。

1. 各選択肢の行列式を計算

選択肢1： $A_1 = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$

$\det(A_1) = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 4 = 6 - 4 = 2 \neq 0$ ✓

選択肢2： $A_2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$

$\det(A_2) = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 2 = 4 - 4 = 0$ ✗

選択肢3： $A_3 = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

$\det(A_3) = 3 \cdot 2 - 6 \cdot 1 = 6 - 6 = 0$ ✗

選択肢4： $A_4 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

$\det(A_4) = 0 \cdot 2 - 1 \cdot 0 = 0 - 0 = 0$ ✗

選択肢5： $A_5 = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}$

$\det(A_5) = 1 \cdot 2 - (-1) \cdot (-2) = 2 - 2 = 0$ ✗

2. 行列式が0になる理由の分析

選択肢2：第2行が第1行の2倍 → 行が線形従属

選択肢3：第1行が第2行の3倍 → 行が線形従属

選択肢4：第1列がすべて0 → 列が線形従属

選択肢5：第2行が第1行の$-2$倍 → 行が線形従属

3. 逆行列の計算（選択肢1）

$A_1 = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$ の逆行列：

$A_1^{-1} = \frac{1}{\det(A_1)} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}$

4. 検算

$A_1 A_1^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ✓

逆行列判定のコツ

判定条件：$\det(A) ≠ 0$ ⟺ 逆行列存在

線形従属のチェック：行（列）が他の行（列）の定数倍なら $\det = 0$

計算確認：$AA^{-1} = I$ で検算