ベクトルの線形結合は線形代数の基本概念で、機械学習における特徴量の合成、主成分分析、基底変換など、データサイエンスのあらゆる場面で使用される重要な概念です。
線形結合の定義
ベクトル $\vec{v_1}, \vec{v_2}, ..., \vec{v_n}$ とスカラー $a_1, a_2, ..., a_n$ に対して：
$\vec{w} = a_1\vec{v_1} + a_2\vec{v_2} + ... + a_n\vec{v_n}$
を $\vec{v_1}, \vec{v_2}, ..., \vec{v_n}$ の線形結合と呼びます。
1. 線形結合の方程式の設定
$\vec{w} = a\vec{v_1} + b\vec{v_2}$ を成分で表すと：
$\begin{pmatrix} 7 \\ 4 \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a + 3b \\ 2a + b \end{pmatrix}$
2. 連立方程式の導出
成分を等しくおくと：
- 第1成分：$a + 3b = 7$ ... (1)
- 第2成分：$2a + b = 4$ ... (2)
3. 連立方程式の解法
方程式(2)から $b$ を消去します：
方程式(2) × 3：$6a + 3b = 12$ ... (3)
方程式(3) - 方程式(1)：$(6a + 3b) - (a + 3b) = 12 - 7$
$5a = 5 \Rightarrow a = 1$
4. $b$ の値の計算
$a = 1$ を方程式(1)に代入：
$1 + 3b = 7 \Rightarrow 3b = 6 \Rightarrow b = 2$
5. 解の検算
$a = 1, b = 2$ を確認：
$1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \end{pmatrix}$ ✓
6. 幾何学的解釈
この線形結合は、平面上で：
- $\vec{v_1}$ 方向に1単位
- $\vec{v_2}$ 方向に2単位
移動した点が $\vec{w}$ の終点になることを表しています。
線形結合の解法コツ
連立方程式化：成分ごとに等式を立てる
消去法：一つの変数を消去して解く
検算必須：元のベクトル式に代入して確認