<p><strong>ベクトルの線形結合</strong>は線形代数の基本概念で、機械学習における特徴量の合成、主成分分析、基底変換など、データサイエンスのあらゆる場面で使用される重要な概念です。</p><h4>線形結合の定義</h4><p>ベクトル $\vec{v_1}, \vec{v_2}, ..., \vec{v_n}$ とスカラー $a_1, a_2, ..., a_n$ に対して：</p><div class='formula'>$\vec{w} = a_1\vec{v_1} + a_2\vec{v_2} + ... + a_n\vec{v_n}
lt;/div><p>を $\vec{v_1}, \vec{v_2}, ..., \vec{v_n}$ の<strong>線形結合</strong>と呼びます。</p><p class='step'>1. 線形結合の方程式の設定</p><p>$\vec{w} = a\vec{v_1} + b\vec{v_2}$ を成分で表すと：</p><div class='formula'>$\begin{pmatrix} 7 \\ 4 \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a + 3b \\ 2a + b \end{pmatrix}
lt;/div><p class='step'>2. 連立方程式の導出</p><p>成分を等しくおくと：</p><ul><li>第1成分：$a + 3b = 7$ ... (1)</li><li>第2成分：$2a + b = 4$ ... (2)</li></ul><p class='step'>3. 連立方程式の解法</p><p>方程式(2)から $b$ を消去します：</p><p>方程式(2) × 3：$6a + 3b = 12$ ... (3)</p><p>方程式(3) - 方程式(1)：$(6a + 3b) - (a + 3b) = 12 - 7
lt;/p><div class='formula'>$5a = 5 \Rightarrow a = 1
lt;/div><p class='step'>4. $b$ の値の計算</p><p>$a = 1$ を方程式(1)に代入：</p><div class='formula'>$1 + 3b = 7 \Rightarrow 3b = 6 \Rightarrow b = 2
lt;/div><p class='step'>5. 解の検算</p><p>$a = 1, b = 2$ を確認：</p><div class='formula'>$1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \end{pmatrix}$ ✓</div><p class='step'>6. 幾何学的解釈</p><p>この線形結合は、平面上で：</p><ul><li>$\vec{v_1}$ 方向に1単位</li><li>$\vec{v_2}$ 方向に2単位</li></ul><p>移動した点が $\vec{w}$ の終点になることを表しています。</p><div class='key-point'><div class='key-point-title'>線形結合の解法コツ</div><p><strong>連立方程式化</strong>：成分ごとに等式を立てる</p><p><strong>消去法</strong>：一つの変数を消去して解く</p><p><strong>検算必須</strong>：元のベクトル式に代入して確認</p></div>