内積とベクトルの直交性は線形代数の重要な概念で、機械学習における特徴量の独立性、信号処理における直交変換、統計学における無相関変数の構成など、データサイエンスの多くの場面で応用されます。
内積と直交性の定義
2つのベクトル $\vec{u}$, $\vec{v}$ の内積は：
$\vec{u} \cdot \vec{v} = \sum_{i} u_i v_i$
直交条件：$\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$
1. 直交条件の設定
$\vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ と $\vec{v} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ が直交するとき：
$3a + 4b = 0$
これより：$3a + 4b = 0 \Rightarrow b = -\frac{3a}{4}$
2. 大きさの条件
$|\vec{v}| = 5$ の条件：
$a^2 + b^2 = 25$
$b = -\frac{3a}{4}$ を代入：
$a^2 + \left(-\frac{3a}{4}\right)^2 = 25$
$a^2 + \frac{9a^2}{16} = 25$
$\frac{16a^2 + 9a^2}{16} = 25$
$a^2 = 16 \Rightarrow a = \pm 4$
3. 対応する $b$ の値
$a = 4$ の場合：
$b = -\frac{3 \cdot 4}{4} = -3$
ベクトル：$\begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix}$
$a = -4$ の場合：
$b = -\frac{3 \cdot (-4)}{4} = 3$
ベクトル：$\begin{pmatrix} -4 \\ 3 \end{pmatrix}$
4. 検算
直交性の確認：
- $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix} = 3 \cdot 4 + 4 \cdot (-3) = 12 - 12 = 0$ ✓
- $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \end{pmatrix} = 3 \cdot (-4) + 4 \cdot 3 = -12 + 12 = 0$ ✓
大きさの確認：
- $\left|\begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix}\right| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$ ✓
- $\left|\begin{pmatrix} -4 \\ 3 \end{pmatrix}\right| = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$ ✓
5. 幾何学的解釈
直交ベクトルは元のベクトルを90°回転させたものです：
- $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ を時計回りに90°回転：$\begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix}$
- $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ を反時計回りに90°回転：$\begin{pmatrix} -4 \\ 3 \end{pmatrix}$
直交ベクトルの求め方
直交条件：内積 = 0 の連立方程式を解く
90°回転：$(a, b) → (b, -a)$ または $(a, b) → (-b, a)$
正規化：大きさ条件で係数を調整