固有値・固有ベクトルは線形代数の最も重要な概念の一つで、主成分分析、Google のPageRankアルゴリズム、量子力学、振動解析など、科学技術の広範囲にわたって応用される基本的な数学的道具です。
固有値・固有ベクトルの定義
正方行列 $A$ に対して、零ベクトルでないベクトル $\vec{v}$ が存在し：
$A\vec{v} = \lambda\vec{v}$
が成り立つとき、$\lambda$ を固有値、$\vec{v}$ を固有ベクトルと呼びます。
1. 特性方程式の導出
固有値の定義から：
$(A - \lambda I)\vec{v} = \vec{0}$
非自明解が存在するための条件：
$\det(A - \lambda I) = 0$
2. 特性行列の計算
$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 4-\lambda & 1 \\ 2 & 3-\lambda \end{pmatrix}$
3. 特性方程式の計算
$\det(A - \lambda I) = (4-\lambda)(3-\lambda) - 1 \cdot 2$
$= (4-\lambda)(3-\lambda) - 2$
$= 12 - 4\lambda - 3\lambda + \lambda^2 - 2$
$= \lambda^2 - 7\lambda + 10$
4. 2次方程式の解
$\lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0$
因数分解すると：
$(\lambda - 5)(\lambda - 2) = 0$
したがって：$\lambda = 5, 2$
5. 解の確認
判別式で確認：$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9 > 0$
実固有値が2つ存在することが確認できます。
解の公式：$\lambda = \frac{7 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2}$
$\lambda_1 = \frac{7 + 3}{2} = 5$, $\lambda_2 = \frac{7 - 3}{2} = 2$
6. 固有値の意味
固有値は行列変換における「伸縮率」を表します：
- $\lambda = 5$：対応する固有ベクトル方向に5倍伸長
- $\lambda = 2$：対応する固有ベクトル方向に2倍伸長
固有値計算のコツ
特性方程式：$\det(A - \lambda I) = 0$ を解く
2×2行列：$(a-\lambda)(d-\lambda) - bc = 0$ の形
因数分解：2次方程式の標準的解法を使用