<p><strong>固有値・固有ベクトル</strong>は線形代数の最も重要な概念の一つで、主成分分析、Google のPageRankアルゴリズム、量子力学、振動解析など、科学技術の広範囲にわたって応用される基本的な数学的道具です。</p><h4>固有値・固有ベクトルの定義</h4><p>正方行列 $A$ に対して、零ベクトルでないベクトル $\vec{v}$ が存在し：</p><div class='formula'>$A\vec{v} = \lambda\vec{v}
lt;/div><p>が成り立つとき、$\lambda$ を<strong>固有値</strong>、$\vec{v}$ を<strong>固有ベクトル</strong>と呼びます。</p><p class='step'>1. 特性方程式の導出</p><p>固有値の定義から：</p><div class='formula'>$(A - \lambda I)\vec{v} = \vec{0}
lt;/div><p>非自明解が存在するための条件：</p><div class='formula'>$\det(A - \lambda I) = 0
lt;/div><p class='step'>2. 特性行列の計算</p><div class='formula'>$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 4-\lambda & 1 \\ 2 & 3-\lambda \end{pmatrix}
lt;/div><p class='step'>3. 特性方程式の計算</p><div class='formula'>$\det(A - \lambda I) = (4-\lambda)(3-\lambda) - 1 \cdot 2
lt;/div><div class='formula'>$= (4-\lambda)(3-\lambda) - 2
lt;/div><div class='formula'>$= 12 - 4\lambda - 3\lambda + \lambda^2 - 2
lt;/div><div class='formula'>$= \lambda^2 - 7\lambda + 10
lt;/div><p class='step'>4. 2次方程式の解</p><div class='formula'>$\lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0
lt;/div><p>因数分解すると：</p><div class='formula'>$(\lambda - 5)(\lambda - 2) = 0
lt;/div><p>したがって：$\lambda = 5, 2
lt;/p><p class='step'>5. 解の確認</p><p>判別式で確認：$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9 > 0
lt;/p><p>実固有値が2つ存在することが確認できます。</p><p>解の公式：$\lambda = \frac{7 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2}
lt;/p><p>$\lambda_1 = \frac{7 + 3}{2} = 5$, $\lambda_2 = \frac{7 - 3}{2} = 2
lt;/p><p class='step'>6. 固有値の意味</p><p>固有値は行列変換における「伸縮率」を表します：</p><ul><li>$\lambda = 5$：対応する固有ベクトル方向に5倍伸長</li><li>$\lambda = 2$：対応する固有ベクトル方向に2倍伸長</li></ul><div class='key-point'><div class='key-point-title'>固有値計算のコツ</div><p><strong>特性方程式</strong>：$\det(A - \lambda I) = 0$ を解く</p><p><strong>2×2行列</strong>：$(a-\lambda)(d-\lambda) - bc = 0$ の形</p><p><strong>因数分解</strong>：2次方程式の標準的解法を使用</p></div>