行列の対角化は線形代数の高度な応用技術で、大きな冪乗計算、線形微分方程式の解法、量子力学の状態遷移、マルコフ連鎖の長期挙動解析など、理論と実用の両面で重要な手法です。
対角化の理論
行列 $A$ が対角化可能であるとは、適当な正則行列 $P$ が存在して：
$P^{-1}AP = D$ （$D$ は対角行列）
が成り立つことです。このとき $A = PDP^{-1}$ となります。
1. 固有値の計算
行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ の特性方程式：
$\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 3-\lambda & 1 \\ 0 & 2-\lambda \end{pmatrix} = (3-\lambda)(2-\lambda)$
したがって固有値は $\lambda_1 = 3, \lambda_2 = 2$ です。
2. 固有ベクトルの計算
$\lambda_1 = 3$ に対する固有ベクトル：
$(A - 3I)\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
これより $y = 0$ なので、固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$
$\lambda_2 = 2$ に対する固有ベクトル：
$(A - 2I)\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
これより $x + y = 0$ なので、固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$
3. 対角化行列の構成
$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$, $D = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$
$P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ （この場合 $P = P^{-1}$）
4. 冪乗計算の効率化
$A = PDP^{-1}$ より：
$A^{10} = (PDP^{-1})^{10} = PD^{10}P^{-1}$
$D^{10} = \begin{pmatrix} 3^{10} & 0 \\ 0 & 2^{10} \end{pmatrix}$
5. $A^{10}$ の計算
$A^{10} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3^{10} & 0 \\ 0 & 2^{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3^{10} & 3^{10} \\ 0 & -2^{10} \end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix} 3^{10} & 3^{10} - 2^{10} \\ 0 & 2^{10} \end{pmatrix}$
6. $(1,1)$ 成分の特定
$A^{10}$ の $(1,1)$ 成分は $3^{10}$ です。
7. 上三角行列の特性活用
実は、上三角行列の冪乗では対角成分がそのまま冪乗されるという性質があります：
$A^n$ の対角成分は元の行列の対角成分の $n$ 乗になります。
行列冪乗計算のコツ
対角化利用：$A^n = PD^nP^{-1}$ で効率計算
上三角行列：対角成分の冪乗が対角成分に
固有値利用：大きな冪乗も簡単に計算可能