<p><strong>行列指数関数</strong>は線形微分方程式系の解を表現する強力な数学的道具で、制御理論、量子力学、人口動態モデル、経済学の動学システムなど、時間発展を扱う多くの分野で重要な役割を果たします。</p><h4>線形微分方程式系の一般解</h4><p>微分方程式系 $\frac{d\vec{x}}{dt} = A\vec{x}$ の解は：</p><div class='formula'>$\vec{x}(t) = e^{At}\vec{x}(0)
lt;/div><p>ここで $e^{At}$ は<strong>行列指数関数</strong>です。</p><p class='step'>1. 行列の固有値計算</p><p>$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ の固有値を求めます。</p><div class='formula'>$\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 0 & -1-\lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)(-1-\lambda) = -(1-\lambda)(1+\lambda) = \lambda^2 - 1
lt;/div><p>固有値：$\lambda_1 = 1, \lambda_2 = -1
lt;/p><p class='step'>2. 固有ベクトルの計算</p><p><strong>$\lambda_1 = 1$ に対する固有ベクトル：</strong></p><div class='formula'>$(A - I)\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
lt;/div><p>これより $y = 0$ なので、固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}
lt;/p><p><strong>$\lambda_2 = -1$ に対する固有ベクトル：</strong></p><div class='formula'>$(A + I)\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
lt;/div><p>これより $x + y = 0$ なので、固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}
lt;/p><p class='step'>3. 対角化による行列指数関数の計算</p><div class='formula'>$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$, $D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
lt;/div><p>$P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ （この場合 $P = P^{-1}$）</p><div class='formula'>$e^{At} = Pe^{Dt}P^{-1} = P\begin{pmatrix} e^t & 0 \\ 0 & e^{-t} \end{pmatrix}P^{-1}
lt;/div><p class='step'>4. $e^{At}$ の具体的計算</p><div class='formula'>$e^{At} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} e^t & 0 \\ 0 & e^{-t} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
lt;/div><div class='formula'>$= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} e^t & e^t \\ 0 & -e^{-t} \end{pmatrix}
lt;/div><div class='formula'>$= \begin{pmatrix} e^t & e^t - e^{-t} \\ 0 & e^{-t} \end{pmatrix}
lt;/div><p class='step'>5. $t = \ln 2$ での解の計算</p><p>$e^{\ln 2} = 2$, $e^{-\ln 2} = \frac{1}{2}$ なので：</p><div class='formula'>$e^{A\ln 2} = \begin{pmatrix} 2 & 2 - \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & \frac{3}{2} \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}
lt;/div><div class='formula'>$\vec{x}(\ln 2) = e^{A\ln 2}\vec{x}(0) = \begin{pmatrix} 2 & \frac{3}{2} \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + \frac{3}{2} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{7}{2} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}
lt;/div><p class='step'>6. 検算と物理的意味</p><p>解の各成分の時間発展：</p><ul><li>$x_1(t) = e^t \cdot x_1(0) + (e^t - e^{-t}) \cdot x_2(0)$：指数的成長</li><li>$x_2(t) = e^{-t} \cdot x_2(0)$：指数的減衰</li></ul><div class='key-point'><div class='key-point-title'>微分方程式系解法のコツ</div><p><strong>行列指数関数</strong>：$\vec{x}(t) = e^{At}\vec{x}(0)
lt;/p><p><strong>対角化利用</strong>：$e^{At} = Pe^{Dt}P^{-1}$ で計算簡略化</p><p><strong>指数法則</strong>：$e^{\ln a} = a$ の関係を活用</p></div>