行列指数関数は線形微分方程式系の解を表現する強力な数学的道具で、制御理論、量子力学、人口動態モデル、経済学の動学システムなど、時間発展を扱う多くの分野で重要な役割を果たします。
線形微分方程式系の一般解
微分方程式系 $\frac{d\vec{x}}{dt} = A\vec{x}$ の解は：
$\vec{x}(t) = e^{At}\vec{x}(0)$
ここで $e^{At}$ は行列指数関数です。
1. 行列の固有値計算
$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ の固有値を求めます。
$\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 0 & -1-\lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)(-1-\lambda) = -(1-\lambda)(1+\lambda) = \lambda^2 - 1$
固有値：$\lambda_1 = 1, \lambda_2 = -1$
2. 固有ベクトルの計算
$\lambda_1 = 1$ に対する固有ベクトル：
$(A - I)\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
これより $y = 0$ なので、固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$
$\lambda_2 = -1$ に対する固有ベクトル：
$(A + I)\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
これより $x + y = 0$ なので、固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$
3. 対角化による行列指数関数の計算
$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$, $D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
$P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ （この場合 $P = P^{-1}$）
$e^{At} = Pe^{Dt}P^{-1} = P\begin{pmatrix} e^t & 0 \\ 0 & e^{-t} \end{pmatrix}P^{-1}$
4. $e^{At}$ の具体的計算
$e^{At} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} e^t & 0 \\ 0 & e^{-t} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} e^t & e^t \\ 0 & -e^{-t} \end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix} e^t & e^t - e^{-t} \\ 0 & e^{-t} \end{pmatrix}$
5. $t = \ln 2$ での解の計算
$e^{\ln 2} = 2$, $e^{-\ln 2} = \frac{1}{2}$ なので：
$e^{A\ln 2} = \begin{pmatrix} 2 & 2 - \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & \frac{3}{2} \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vec{x}(\ln 2) = e^{A\ln 2}\vec{x}(0) = \begin{pmatrix} 2 & \frac{3}{2} \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + \frac{3}{2} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{7}{2} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
6. 検算と物理的意味
解の各成分の時間発展：
- $x_1(t) = e^t \cdot x_1(0) + (e^t - e^{-t}) \cdot x_2(0)$：指数的成長
- $x_2(t) = e^{-t} \cdot x_2(0)$：指数的減衰
微分方程式系解法のコツ
行列指数関数：$\vec{x}(t) = e^{At}\vec{x}(0)$
対角化利用：$e^{At} = Pe^{Dt}P^{-1}$ で計算簡略化
指数法則：$e^{\ln a} = a$ の関係を活用