動的システムの安定性解析は工学・物理学・生物学・経済学において極めて重要で、システムが平衡点の近傍でどのような挙動を示すかを固有値の性質から判定する基本的な手法です。
線形動的システムの安定性理論
線形システム $\frac{d\vec{x}}{dt} = A\vec{x}$ の安定性は、行列 $A$ の固有値によって完全に決定されます：
- 安定：すべての固有値の実部が負
- 不安定：少なくとも一つの固有値の実部が正
- 中立安定：固有値の実部が0以下で、実部0の固有値は単純
1. 係数行列の固有値計算
行列 $A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$ の特性方程式：
$\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} -2-\lambda & 1 \\ 1 & -2-\lambda \end{pmatrix}$
$= (-2-\lambda)^2 - 1 = (2+\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 + 4\lambda + 4 - 1 = \lambda^2 + 4\lambda + 3$
2. 固有値の求解
$\lambda^2 + 4\lambda + 3 = 0$
因数分解：$(\lambda + 1)(\lambda + 3) = 0$
固有値：$\lambda_1 = -1, \lambda_2 = -3$
3. 安定性の判定
両方の固有値が負の実数なので：
- $\lambda_1 = -1 < 0$
- $\lambda_2 = -3 < 0$
したがって、このシステムは漸近安定です。
4. 解の一般形と挙動解析
一般解は：$\vec{x}(t) = c_1 e^{-t}\vec{v_1} + c_2 e^{-3t}\vec{v_2}$
$t \to \infty$ のとき：
- $e^{-t} \to 0$（指数的減衰）
- $e^{-3t} \to 0$（より速い指数的減衰）
よって $\vec{x}(t) \to \vec{0}$ as $t \to \infty$
5. 固有ベクトルと主要減衰モード
$\lambda_1 = -1$ の固有ベクトル：
$(A + I)\vec{v} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
固有ベクトル：$\vec{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$
$\lambda_2 = -3$ の固有ベクトル：
$(A + 3I)\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
固有ベクトル：$\vec{v_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$
6. 物理的解釈
このシステムの挙動：
- 高速減衰モード（$e^{-3t}$）が最初に支配的
- 長期的には低速減衰モード（$e^{-t}$）が支配的
- 最終的にすべての軌道が原点に収束
安定性判定のコツ
固有値の符号：すべて負なら漸近安定
判定基準：Re($\lambda$) < 0 ⟹ 安定
長期挙動：固有値の符号で軌道の収束・発散を判定