写像（関数）の基本概念と性質について学習します。写像は数学の基礎概念として、関数の定義、データ変換、機械学習のモデル構築など、多くの分野で重要です。
写像の基本概念
写像 $f: A \to B$ は、集合 $A$ の各要素に対して、集合 $B$ の要素をただ一つ対応させる規則です。
写像の性質：
- 単射（injection）：異なる入力に対して異なる出力
- 全射（surjection）：出力集合のすべての要素が何らかの入力の像
- 全単射（bijection）：単射かつ全射
1. 与えられた写像の確認
$f: \{1, 2, 3\} \to \{a, b, c\}$ で：
- $f(1) = a$
- $f(2) = b$
- $f(3) = a$
2. 単射性の確認
単射であるためには、$f(x_1) = f(x_2)$ ならば $x_1 = x_2$ である必要があります。
しかし、$f(1) = a$ かつ $f(3) = a$ なので、$f(1) = f(3)$ であるのに $1 ≠ 3$ です。
したがって、$f$ は単射ではありません。
3. 全射性の確認
全射であるためには、出力集合 $\{a, b, c\}$ のすべての要素が像として現れる必要があります。
写像 $f$ の像は $\{f(1), f(2), f(3)\} = \{a, b, a\} = \{a, b\}$ です。
要素 $c$ は像として現れないため、$f$ は全射ではありません。
写像の性質判定法
単射の判定：異なる入力が同じ出力になるかチェック
全射の判定：出力集合の全要素が像として現れるかチェック
実用性：データ変換の可逆性や情報の保存性を判断