同値関係は集合を互いに素な部分集合（同値類）に分割する関係です。データサイエンスでは、クラスタリング、分類問題、データの前処理における正規化などで重要な概念です。
同値関係の定義
集合 $A$ 上の関係 $R$ が同値関係であるためには、以下の3つの性質を満たす必要があります：
- 反射律：$\forall a \in A$, $aRa$
- 対称律：$aRb \Rightarrow bRa$
- 推移律：$aRb \land bRc \Rightarrow aRc$
1. 関係 $R$ の定義確認
$aRb \Leftrightarrow a \equiv b \pmod{3}$ は、「$a$ と $b$ を3で割った余りが等しい」ことを意味します。
2. 同値関係の証明
反射律： 任意の $a \in A$ に対して、$a \equiv a \pmod{3}$ は明らかに成立。
対称律： $a \equiv b \pmod{3}$ ならば $b \equiv a \pmod{3}$ も成立。
推移律： $a \equiv b \pmod{3}$ かつ $b \equiv c \pmod{3}$ ならば $a \equiv c \pmod{3}$ も成立。
したがって、$R$ は同値関係です。
3. 同値類の構成
各要素を3で割った余りで分類します：
- 余り0：$\{3, 6\}$
- 余り1：$\{1, 4\}$
- 余り2：$\{2, 5\}$
同値類の数は 3個 です。