位相空間は数学解析の基礎概念で、連続性、収束、近傍などを抽象化したものです。データサイエンスでは、次元削減、クラスタリング、ネットワーク解析で重要な役割を果たします。
位相の定義
集合 $X$ 上の部分集合族 $\mathcal{T}$ が位相であるためには、以下の3つの条件を満たす必要があります：
- $\emptyset \in \mathcal{T}$ かつ $X \in \mathcal{T}$
- $\mathcal{T}$ の任意の部分族の和集合は $\mathcal{T}$ に属する
- $\mathcal{T}$ の有限個の要素の積集合は $\mathcal{T}$ に属する
1. 条件1の確認
$\mathcal{T} = \{\emptyset, \{a\}, \{a, b\}, X\}$ において：
- $\emptyset \in \mathcal{T}$ ✓
- $X = \{a, b, c\} \in \mathcal{T}$ ✓
2. 条件2の確認（和集合について）
$\mathcal{T}$ のすべての部分族の和集合を調べます：
- $\emptyset = \emptyset \in \mathcal{T}$ ✓
- $\{a\} \in \mathcal{T}$ ✓
- $\{a, b\} \in \mathcal{T}$ ✓
- $\{a, c\} = \{a\} \cup \{a\} = \{a\} \in \mathcal{T}$ ✓
- $\{a, b\} \cup \{a\} = \{a, b\} \in \mathcal{T}$ ✓
- $\{a, b\} \cup X = X \in \mathcal{T}$ ✓
3. 条件3の確認（積集合について）
$\mathcal{T}$ の要素の有限積集合を調べます：
- $\emptyset \cap $ (任意の集合) $= \emptyset \in \mathcal{T}$ ✓
- $\{a\} \cap \{a, b\} = \{a\} \in \mathcal{T}$ ✓
- $\{a\} \cap X = \{a\} \in \mathcal{T}$ ✓
- $\{a, b\} \cap X = \{a, b\} \in \mathcal{T}$ ✓
すべての条件が満たされるため、$\mathcal{T}$ は位相となります。