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<p><strong>開集合と閉集合</strong>は位相空間論の基本概念で、連続性や収束の定義に不可欠です。データサイエンスでは、最適化の収束判定、クラスタリングの境界検出、異常値検出などで重要です。</p><h4>実数の標準位相における開集合・閉集合</h4><p><strong>開集合：</strong> 各点の周りに完全に含まれる近傍が存在する集合</p><p><strong>閉集合：</strong> 補集合が開集合である集合</p><p><strong>実数における例：</strong></p><ul><li>開区間 $(a, b)$ は開集合</li><li>閉区間 $[a, b]$ は閉集合</li><li>半開区間 $[a, b)$ は開集合でも閉集合でもない</li></ul><p class='step'>1. 集合 $A = (0, 1) \cup \{2\}$ の分析</p><p>$A$ は2つの部分から構成されています：</p><ul><li>$(0, 1)$：開区間</li><li>$\{2\}$：1点集合</li></ul><p class='step'>2. 開集合かどうかの確認</p><p>開集合であるためには、すべての点で近傍条件を満たす必要があります。</p><p>点 $2 \in A$ について：点2の任意の近傍は$(2-\epsilon, 2+\epsilon)$の形ですが、この近傍には$(0,1)$に属さない点（例：1.5）が含まれるため、近傍全体が$A$に含まれません。</p><p>したがって、$A$ は<strong>開集合ではありません</strong>。</p><p class='step'>3. 閉集合かどうかの確認</p><p>$A$ の補集合は $A^c = (-\infty, 0] \cup [1, 2) \cup (2, \infty)$ です。</p><p>点1について：1は$A^c$に属しますが、1の任意の近傍$(1-\epsilon, 1+\epsilon)$には$(0,1)$の点が含まれるため、近傍全体が$A^c$に含まれません。</p><p>したがって、$A^c$ は開集合ではなく、$A$ は<strong>閉集合ではありません</strong>。</p><div class='key-point'><div class='key-point-title'>開閉集合の応用</div><p>開集合・閉集合の概念は以下で重要です：</p><ul><li><strong>最適化</strong>：制約条件の内部点と境界点の区別</li><li><strong>機械学習</strong>：決定境界の性質とモデルの安定性</li><li><strong>データ解析</strong>：外れ値検出と境界値の処理</li><li><strong>統計学</strong>：信頼区間の開閉性と推定精度</li></ul></div>