開集合と閉集合は位相空間論の基本概念で、連続性や収束の定義に不可欠です。データサイエンスでは、最適化の収束判定、クラスタリングの境界検出、異常値検出などで重要です。
実数の標準位相における開集合・閉集合
開集合： 各点の周りに完全に含まれる近傍が存在する集合
閉集合： 補集合が開集合である集合
実数における例：
- 開区間 $(a, b)$ は開集合
- 閉区間 $[a, b]$ は閉集合
- 半開区間 $[a, b)$ は開集合でも閉集合でもない
1. 集合 $A = (0, 1) \cup \{2\}$ の分析
$A$ は2つの部分から構成されています：
2. 開集合かどうかの確認
開集合であるためには、すべての点で近傍条件を満たす必要があります。
点 $2 \in A$ について：点2の任意の近傍は$(2-\epsilon, 2+\epsilon)$の形ですが、この近傍には$(0,1)$に属さない点（例：1.5）が含まれるため、近傍全体が$A$に含まれません。
したがって、$A$ は開集合ではありません。
3. 閉集合かどうかの確認
$A$ の補集合は $A^c = (-\infty, 0] \cup [1, 2) \cup (2, \infty)$ です。
点1について：1は$A^c$に属しますが、1の任意の近傍$(1-\epsilon, 1+\epsilon)$には$(0,1)$の点が含まれるため、近傍全体が$A^c$に含まれません。
したがって、$A^c$ は開集合ではなく、$A$ は閉集合ではありません。
開閉集合の応用
開集合・閉集合の概念は以下で重要です：
- 最適化：制約条件の内部点と境界点の区別
- 機械学習：決定境界の性質とモデルの安定性
- データ解析：外れ値検出と境界値の処理
- 統計学：信頼区間の開閉性と推定精度