連続写像と逆像の概念を学習します。連続性は数学解析の基礎で、機械学習では損失関数の最適化、統計学では推定量の性質の解析に重要です。
逆像の定義
写像 $f: X \to Y$ と集合 $B \subseteq Y$ に対して、$B$ の逆像は：
$f^{-1}(B) = \{x \in X : f(x) \in B\}$
1. 逆像の条件設定
$f^{-1}((1, 3))$ を求めるためには、$f(x) \in (1, 3)$ となる $x$ の値を見つけます。
つまり、$1 < f(x) < 3$ を満たす $x$ を求めます。
2. 不等式の解
$f(x) = 2x + 1$ なので：
$\begin{align}1 < 2x + 1 < 3\end{align}$
各部分を解きます：
$\begin{align}1 < 2x + 1 &\Rightarrow 0 < 2x \Rightarrow 0 < x \\2x + 1 < 3 &\Rightarrow 2x < 2 \Rightarrow x < 1\end{align}$
3. 解の結合
両方の条件を満たす $x$ は：
$0 < x < 1$
したがって、$f^{-1}((1, 3)) = (0, 1)$ です。
4. 連続性の確認
$f(x) = 2x + 1$ は線形関数なので連続です。連続関数では開集合の逆像は開集合になり、実際に $(0, 1)$ は開集合です。
連続写像の重要性
連続写像は以下の分野で重要です：
- 最適化：目的関数の連続性と最適解の存在
- 機械学習：損失関数の微分可能性と勾配計算
- 統計学：推定量の連続性と漸近的性質
- データ変換：スケーリングと正規化の連続性