<p><strong>連続写像</strong>と<strong>逆像</strong>の概念を学習します。連続性は数学解析の基礎で、機械学習では損失関数の最適化、統計学では推定量の性質の解析に重要です。</p><h4>逆像の定義</h4><p>写像 $f: X \to Y$ と集合 $B \subseteq Y$ に対して、$B$ の逆像は：</p><div class='formula'>$f^{-1}(B) = \{x \in X : f(x) \in B\}
lt;/div><p class='step'>1. 逆像の条件設定</p><p>$f^{-1}((1, 3))$ を求めるためには、$f(x) \in (1, 3)$ となる $x$ の値を見つけます。</p><p>つまり、$1 < f(x) < 3$ を満たす $x$ を求めます。</p><p class='step'>2. 不等式の解</p><p>$f(x) = 2x + 1$ なので：</p><div class='formula'>$\begin{align}1 < 2x + 1 < 3\end{align}
lt;/div><p>各部分を解きます：</p><div class='formula'>$\begin{align}1 < 2x + 1 &\Rightarrow 0 < 2x \Rightarrow 0 < x \\2x + 1 < 3 &\Rightarrow 2x < 2 \Rightarrow x < 1\end{align}
lt;/div><p class='step'>3. 解の結合</p><p>両方の条件を満たす $x$ は：</p><div class='formula'>$0 < x < 1
lt;/div><p>したがって、$f^{-1}((1, 3)) = (0, 1)$ です。</p><p class='step'>4. 連続性の確認</p><p>$f(x) = 2x + 1$ は線形関数なので連続です。連続関数では開集合の逆像は開集合になり、実際に $(0, 1)$ は開集合です。</p><div class='key-point'><div class='key-point-title'>連続写像の重要性</div><p>連続写像は以下の分野で重要です：</p><ul><li><strong>最適化</strong>：目的関数の連続性と最適解の存在</li><li><strong>機械学習</strong>：損失関数の微分可能性と勾配計算</li><li><strong>統計学</strong>：推定量の連続性と漸近的性質</li><li><strong>データ変換</strong>：スケーリングと正規化の連続性</li></ul></div>