コンパクト性は位相空間論の重要概念で、「有界かつ閉」という直感的性質を一般化したものです。最適化理論、関数解析、機械学習の収束理論において重要な役割を果たします。
実数におけるコンパクト性
ハイネ・ボレルの定理： 実数の部分集合がコンパクトである必要十分条件は、その集合が有界かつ閉であることです。
コンパクト性の特徴：
- 任意の開被覆から有限部分被覆が選べる
- 任意の数列が収束する部分列を持つ
- 連続関数の像として最大値・最小値を持つ
1. 各選択肢の検討
選択肢1: $[0, 1]$
- 有界：$0 \leq x \leq 1$ で有界 ✓
- 閉集合：端点0, 1を含む ✓
- 結論：コンパクト
選択肢2: $(0, 1)$
- 有界：$0 < x < 1$ で有界 ✓
- 閉集合：端点0, 1を含まない ✗
- 結論：コンパクトでない
選択肢3: $[0, \infty)$
選択肢4: $\mathbb{Z}$
選択肢5: $\mathbb{Q} \cap [0, 1]$
- 有界：$[0, 1]$ 内なので有界 ✓
- 閉集合：無理数の極限点を含まない ✗
- 結論：コンパクトでない
コンパクト性の応用
コンパクト性は以下の場面で重要です：
- 最適化：コンパクト集合上の連続関数は最大値・最小値を持つ
- 機械学習：パラメータ空間の有界性と収束保証
- 統計学：推定量の一致性と漸近理論
- 数値解析：反復アルゴリズムの収束性解析