<p><strong>コンパクト性</strong>は位相空間論の重要概念で、「有界かつ閉」という直感的性質を一般化したものです。最適化理論、関数解析、機械学習の収束理論において重要な役割を果たします。</p><h4>実数におけるコンパクト性</h4><p><strong>ハイネ・ボレルの定理：</strong> 実数の部分集合がコンパクトである必要十分条件は、その集合が有界かつ閉であることです。</p><p><strong>コンパクト性の特徴：</strong></p><ul><li>任意の開被覆から有限部分被覆が選べる</li><li>任意の数列が収束する部分列を持つ</li><li>連続関数の像として最大値・最小値を持つ</li></ul><p class='step'>1. 各選択肢の検討</p><p><strong>選択肢1: $[0, 1]
lt;/strong></p><ul><li>有界：$0 \leq x \leq 1$ で有界 ✓</li><li>閉集合：端点0, 1を含む ✓</li><li>結論：<strong>コンパクト</strong></li></ul><p><strong>選択肢2: $(0, 1)
lt;/strong></p><ul><li>有界：$0 < x < 1$ で有界 ✓</li><li>閉集合：端点0, 1を含まない ✗</li><li>結論：コンパクトでない</li></ul><p><strong>選択肢3: $[0, \infty)
lt;/strong></p><ul><li>有界：上に有界でない ✗</li><li>結論：コンパクトでない</li></ul><p><strong>選択肢4: $\mathbb{Z}
lt;/strong></p><ul><li>有界：有界でない ✗</li><li>結論：コンパクトでない</li></ul><p><strong>選択肢5: $\mathbb{Q} \cap [0, 1]
lt;/strong></p><ul><li>有界：$[0, 1]$ 内なので有界 ✓</li><li>閉集合：無理数の極限点を含まない ✗</li><li>結論：コンパクトでない</li></ul><div class='key-point'><div class='key-point-title'>コンパクト性の応用</div><p>コンパクト性は以下の場面で重要です：</p><ul><li><strong>最適化</strong>：コンパクト集合上の連続関数は最大値・最小値を持つ</li><li><strong>機械学習</strong>：パラメータ空間の有界性と収束保証</li><li><strong>統計学</strong>：推定量の一致性と漸近理論</li><li><strong>数値解析</strong>：反復アルゴリズムの収束性解析</li></ul></div>