極限・漸近理論

デルタ法（Delta Method）による非線形変換の漸近理論

デルタ法は確率変数の非線形変換の漸近分布を求める強力な手法です。統計学や計量経済学で推定量の標準誤差を計算する際に頻繁に使用されます。

Step 1: デルタ法の基本理論

確率変数Xₙが漸近的に正規分布に従う場合：

関数g(x)が点μで微分可能で g'(μ) ≠ 0 ならば：

Step 2: 問題設定の整理

与えられた情報：

• 標本平均：X ~ 漸近的に N(μ, σ²/n)
• 平均：μ = 4
• 分散：Var(X) = σ²/n = 1/100
• 変換関数：g(x) = 1/x

求めるもの：Y = g(X) = 1/X の漸近分散

本問の漸近分散は、Y そのものの分散の近似値です。√n(Y − 1/μ) の漸近分散 [g'(μ)]²σ² を n で割った値にあたります。

Step 3: 微分の計算

変換関数の微分：

μ = 4での微分値：

Step 4: デルタ法の適用

デルタ法により、Y = 1/X の漸近分散は：

小数第5位まで：0.00004

多変量デルタ法への拡張

Step 5: 一般的なデルタ法の公式

k次元確率変数ベクトル X = (X₁, ..., Xₖ)' に対して：

関数 g: ℝᵏ → ℝ に対して：

ここで ∇g(μ) は勾配ベクトルです。

標準誤差の計算例

Step 6: 標準誤差の導出

Y = 1/X の標準誤差：

1/μ の95%信頼区間は、推定値 Y = 1/X を中心に作ります。実際のデータでは μ は未知なので、SE も g'(μ) の μ に観測値 X を代入して SE = (1/X²) × √(1/100) と評価します。

たとえば X = 4 が観測されたとすると、SE = (1/16) × 0.1 = 0.00625 なので：

区間の幅は 2 × 0.01225 = 0.0245 です。