漸近理論問題3 - 青の統計学-DS Playground-

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デルタ法（Delta Method）による非線形変換の漸近理論

デルタ法は確率変数の非線形変換の漸近分布を求める強力な手法です。統計学や計量経済学で推定量の標準誤差を計算する際に頻繁に使用されます。

デルタ法の重要性

非線形推定：複雑なパラメータの関数の分散を推定できます。実用性：最尤推定量や回帰係数の変換における標準誤差計算に不可欠です。

Step 1: デルタ法の基本理論

確率変数Xₙが漸近的に正規分布に従う場合：

$$\sqrt{n}(X_n - \mu) \xrightarrow{d} N(0, \sigma^2)$$

関数g(x)が点μで微分可能で g'(μ) ≠ 0 ならば：

$$\sqrt{n}(g(X_n) - g(\mu)) \xrightarrow{d} N(0, [g'(\mu)]^2 \sigma^2)$$

デルタ法の条件

条件	内容	本例での確認
漸近正規性	Xₙ が漸近正規	標本平均なので満足
微分可能性	g(x)がμで微分可能	g(x) = 1/x、μ = 4で微分可能
微分非零	g'(μ) ≠ 0	g'(4) = -1/16 ≠ 0

Step 2: 問題設定の整理

与えられた情報：

標本平均：X ~ 漸近的に N(μ, σ²/n)
平均：μ = 4
分散：Var(X) = σ²/n = 1/100
変換関数：g(x) = 1/x

求めるもの：Y = g(X) = 1/X の漸近分散

Step 3: 微分の計算

変換関数の微分：

$$g(x) = \frac{1}{x} = x^{-1}$$

$$g'(x) = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$$

μ = 4での微分値：

$$g'(4) = -\frac{1}{4^2} = -\frac{1}{16}$$

Step 4: デルタ法の適用

デルタ法により、Y = 1/X の漸近分散は：

$$Var(Y) \approx [g'(\mu)]^2 \times Var(X)$$

$$= \left(-\frac{1}{16}\right)^2 \times \frac{1}{100}$$

$$= \frac{1}{256} \times \frac{1}{100} = \frac{1}{25600}$$

$$= 0.0000390625$$

小数第5位まで：0.00004

計算の検証

各ステップの確認：

微分：(1/x)' = -1/x²
点での値：g'(4) = -1/16
二乗：(-1/16)² = 1/256
分散計算：(1/256) × (1/100) = 1/25600
小数変換：1/25600 ≈ 0.0000390625

多変量デルタ法への拡張

Step 5: 一般的なデルタ法の公式

k次元確率変数ベクトル X = (X₁, ..., Xₖ)' に対して：

$$\sqrt{n}(\mathbf{X}_n - \boldsymbol{\mu}) \xrightarrow{d} N(\mathbf{0}, \boldsymbol{\Sigma})$$

関数 g: ℝᵏ → ℝ に対して：

$$\sqrt{n}(g(\mathbf{X}_n) - g(\boldsymbol{\mu})) \xrightarrow{d} N(0, \nabla g(\boldsymbol{\mu})' \boldsymbol{\Sigma} \nabla g(\boldsymbol{\mu}))$$

ここで ∇g(μ) は勾配ベクトルです。

実際の統計解析での応用例

分野	変換例	g(x)	用途
比率推定	率の逆数	1/p	平均到着時間
回帰分析	対数オッズ	log(p/(1-p))	ロジスティック回帰
信頼性工学	ハザード率	-log(1-F(t))	故障率分析
経済学	弾性値	β₁ × (x̄/ȳ)	需要弾性

標準誤差の計算例

Step 6: 標準誤差の導出

Y = 1/X の標準誤差：

$$SE(Y) = \sqrt{Var(Y)} = \sqrt{0.0000390625} \approx 0.00625$$

95%信頼区間の幅：

$$Y \pm 1.96 \times SE(Y) = \frac{1}{4} \pm 1.96 \times 0.00625$$

$$= 0.25 \pm 0.01225 = [0.23775, 0.26225]$$

デルタ法の適用条件と限界

条件	満足時	違反時の対処
微分可能性	通常の変換関数	数値微分、ブートストラップ
微分非零	単調変換	高次デルタ法
漸近正規性	CLTが成立	変換後の分布確認
十分なサンプルサイズ	n ≥ 30程度	有限標本調整

数値例による精度確認

Step 7: モンテカルロシミュレーションとの比較

理論値との比較のため、仮想的なシミュレーション結果：

手法	推定分散	標準誤差	計算時間
デルタ法	0.0000391	0.00625	瞬時
ブートストラップ	0.0000385	0.00620	中程度
モンテカルロ	0.0000393	0.00627	長時間

デルタ法の近似精度が高いことがわかります。

実用的な計算手順

Step 1：元の推定量の平均と分散を確認
Step 2：変換関数g(x)を定義
Step 3：g'(x)を計算
Step 4：μでの微分値g'(μ)を求める
Step 5：[g'(μ)]² × Var(X)を計算

高次デルタ法への拡張

Step 8: 二次デルタ法

g'(μ) = 0 の場合、二次デルタ法を使用：

$$Var(g(X)) \approx \frac{1}{4}[g''(\mu)]^2 Var(X)^2$$

本例では g'(4) ≠ 0 なので一次デルタ法で十分です。

二次導関数の参考計算：

$$g''(x) = \frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{x^2}\right) = \frac{2}{x^3}$$

$$g''(4) = \frac{2}{4^3} = \frac{2}{64} = \frac{1}{32}$$

統計ソフトウェアでの実装

ソフトウェア	関数/コマンド	特徴
R	msm::deltamethod()	自動微分
Python	statsmodels.stats.delta_method	数値微分対応
SAS	PROC NLMIXED	非線形混合モデル
Stata	nlcom	非線形組み合わせ

実際の研究での応用例

Step 9: 医学研究での相対リスク

症例対照研究でのオッズ比 OR = (a×d)/(b×c) の信頼区間：

$$SE(\log OR) \approx \sqrt{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d}}$$

これはデルタ法の応用例です（対数変換により分散安定化）。

デルタ法の理論的背景

テイラー展開との関係：

g(X) ≈ g(μ) + g'(μ)(X - μ) （一次近似）

したがって：

Var(g(X)) ≈ Var(g'(μ)(X - μ)) = [g'(μ)]² Var(X)

計算ミスの回避と検証

Step 10: 計算の二重確認

ステップ	計算	結果	確認方法
微分	d/dx(1/x)	-1/x²	基本微分公式
点での値	-1/4²	-1/16	直接代入
二乗	(-1/16)²	1/256	符号に注意
乗算	(1/256)×(1/100)	1/25600	分数計算
小数変換	1÷25600	0.0000391	電卓確認

よくある間違いと対策

符号エラー：微分の符号を正確に計算
点の選択：μでの微分値を使用（Xの値ではない）
単位の混同：分散とSEの区別
近似の限界：非線形性が強い場合の注意

結果の解釈と報告

学術論文での報告例：

「標本平均X（平均4、分散0.01）に対して、Y = 1/Xの分散をデルタ法により推定した。g(x) = 1/xの微分g'(4) = -1/16を用いて、Var(Y) ≈ (1/16)² × 0.01 = 0.0000391と計算された。この結果により、Yの95%信頼区間を適切に構成できる。」

極限・漸近理論