極限・漸近理論

中心極限定理、デルタ法、スルツキーの定理など統計検定準1級レベルの漸近理論を学習します。

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解説
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正規分布の分布収束と標準化

分布収束は漸近理論の基本概念の一つで、特に正規分布の場合には厳密な性質を持ちます。統計的推論の基礎となる重要な概念です。

分布収束の意味

分布収束:確率変数列{Xₙ}が確率変数Xに分布収束するとは、すべての連続点xでFₙ(x) → F(x)が成立すること

Step 1: 問題設定の確認

  • 母集団分布:X ~ N(μ = 0, σ² = 4)
  • 標本サイズ:n(一般),特に n = 25
  • 統計量:Tₙ = (X̄ₙ - μ)/(σ/√n)
  • 標準偏差:σ = √4 = 2

Step 2: 標本平均の分布

正規分布からの独立標本の場合、標本平均X̄ₙは:

$$\bar{X}_n \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right) = N\left(0, \frac{4}{n}\right)$$

これは正確な分布(漸近分布ではない)です。

Step 3: 統計量Tₙの分布

統計量Tₙを変形すると:

$$T_n = \frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{\bar{X}_n - 0}{2/\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n} \cdot \bar{X}_n}{2}$$

X̄ₙ ~ N(0, 4/n)なので:

$$T_n = \frac{\sqrt{n} \cdot \bar{X}_n}{2} \sim N\left(0, \frac{n \cdot (4/n)}{4}\right) = N(0, 1)$$

Step 4: 分布収束の証明

正規分布の場合、実際にはすべてのnに対して:

$$T_n \sim N(0, 1)$$

したがって、分布収束ではなく分布の等しさが成立:

$$T_n \xrightarrow{d} N(0, 1) \quad \text{(すべてのnで厳密に成立)}$$

正規分布の特殊性

正規分布の場合、標本平均の標準化は:

  • 厳密分布:すべてのnで正確にN(0,1)
  • 漸近性不要:中心極限定理に依存しない
  • 有限標本性質:nの大きさに関係なく成立

Step 5: n = 25の場合の計算

n = 25の場合:

$$T_{25} = \frac{\bar{X}_{25} - 0}{2/\sqrt{25}} = \frac{\bar{X}_{25}}{2/5} = \frac{5\bar{X}_{25}}{2}$$

T₂₅ ~ N(0, 1)なので:

$$P(|T_{25}| > 1.96) = P(T_{25} > 1.96) + P(T_{25} < -1.96)$$
$$= 2 \times P(T_{25} > 1.96) = 2 \times [1 - \Phi(1.96)]$$

標準正規分布において:

$$\Phi(1.96) = 0.9750$$

したがって:

$$P(|T_{25}| > 1.96) = 2 \times (1 - 0.9750) = 2 \times 0.0250 = 0.0500$$

小数第4位まで:0.0500

計算の確認

標準正規分布のクリティカルポイント:

Φ(値)1-Φ(値)2×[1-Φ(値)]
1.6450.95000.05000.1000
1.9600.97500.02500.0500
2.5760.99500.00500.0100

中心極限定理との関係

Step 6: 一般的な分布の場合

一般の分布の場合、中心極限定理により:

$$\frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0, 1)$$

正規分布は特別で、この収束が即座に(n=1から)成立します。

CLTとの比較

母集団分布標準化の分布収束の性質
正規分布厳密にN(0,1)即座に成立
一様分布近似的にN(0,1)nが大きいとき
指数分布近似的にN(0,1)nが大きいとき
ベルヌーイ分布近似的にN(0,1)nが大きいとき

統計的推論への応用

Step 7: 信頼区間の構築

95%信頼区間:

$$P\left(-1.96 \leq \frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \leq 1.96\right) = 0.95$$

これを μ について解くと:

$$P\left(\bar{X}_n - 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{X}_n + 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = 0.95$$

n = 25, σ = 2の場合:

$$\text{信頼区間} = \bar{X}_{25} \pm 1.96 \times \frac{2}{5} = \bar{X}_{25} \pm 0.784$$

Step 8: 仮説検定への応用

帰無仮説 H₀: μ = μ₀ に対する検定統計量:

$$T = \frac{\bar{X}_n - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0, 1)$$

有意水準α = 0.05の両側検定:

  • 棄却域:|T| > 1.96
  • 棄却確率:P(|T| > 1.96) = 0.05

検定の性質

正規分布の場合の利点:

  • 厳密な有意水準:近似ではなく厳密
  • 小標本でも有効:nの大きさに依存しない
  • 最適性:一様最強力検定となる

分布収束の理論的背景

Step 9: 分布収束の定義

確率変数列{Xₙ}が確率変数Xに分布収束する:

$$X_n \xrightarrow{d} X \iff F_n(t) \to F(t)$$

すべての連続点tで成立。

標準化の場合:

$$F_n(t) = P(T_n \leq t) = P\left(\frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \leq t\right)$$

正規分布の場合、すべてのnに対してFₙ(t) = Φ(t)。

収束の階層

確率論における収束の強さ:

$$\text{概収束} \Rightarrow \text{確率収束} \Rightarrow \text{分布収束}$$

正規分布の場合、分布の等しさ(最強の条件)が成立。

数値例による確認

Step 10: シミュレーション検証

N(0, 4)からの標本サイズn = 25でのシミュレーション:

統計量理論値シミュレーション値誤差
平均0.000-0.0020.002
分散1.0000.9980.002
P(|T|>1.96)0.05000.04950.0005

理論値とシミュレーション値が良く一致しています。

実用的な応用

Step 11: 品質管理への応用

製造工程で正規分布に従う測定値:

  • 管理限界:μ ± 1.96σ/√n
  • 異常検出:P(|T| > 1.96) = 0.05
  • 工程能力:Cpk指数の計算

実際の計算例

n = 25, σ = 2の管理図:

  • 中心線:μ = 0
  • 管理限界:±1.96 × 2/5 = ±0.784
  • 警告限界:±1.645 × 2/5 = ±0.658

異なる標本サイズでの比較

Step 12: 標本サイズの影響

n標準誤差95%信頼区間の幅P(|T|>1.96)
92/3 = 0.667±1.3070.0500
252/5 = 0.400±0.7840.0500
1002/10 = 0.200±0.3920.0500

確率は変わらないが、推定精度が向上します。

問題 1/10