少数法則（Law of Small Numbers）とPoisson近似
少数法則は、大数の法則と並んで確率論の基本定理の一つで、二項分布のPoisson分布による近似を与えます。1898年にBoris Bortkiewiczによって発見され、多くの実用的な応用を持つ重要な理論です。
少数法則の条件
条件：n → ∞, p → 0, np → λ（有限値）のとき
結論：二項分布B(n,p)はPoisson分布Po(λ)に分布収束
Step 1: 問題設定の確認
- 試行回数：n = 1000
- 成功確率：pₙ = 3/1000 = 0.003
- 成功回数：Sₙ ~ B(1000, 0.003)
- Poissonパラメータ：λ = npₙ = ?
Step 2: Poissonパラメータの計算
少数法則により、λ = npₙ を計算：
$$\lambda = n \times p_n = 1000 \times 0.003 = 3$$
したがって、Sₙ は近似的に Po(3) に従います。
Step 3: P(Sₙ = 2)の計算
Poisson分布Po(λ)の確率質量関数：
$$P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$$
λ = 3, k = 2 を代入：
$$P(S_n = 2) \approx \frac{3^2 e^{-3}}{2!} = \frac{9 e^{-3}}{2}$$
e⁻³ ≈ 0.0498 を用いて：
$$P(S_n = 2) \approx \frac{9 \times 0.0498}{2} = \frac{0.4482}{2} = 0.2241$$
小数第4位まで：0.2240
計算の確認
正確な値を用いた計算：
$$e^{-3} = 0.049787...$$
$$P(S_n = 2) = \frac{9 \times 0.049787}{2} = \frac{0.448083}{2} = 0.224041...$$
四捨五入により：0.2240
少数法則の理論的背景
Step 4: 分布収束の証明概要
二項分布の確率質量関数：
$$P(S_n = k) = \binom{n}{k} p_n^k (1-p_n)^{n-k}$$
np_n → λ, p_n → 0 の条件下で：
$$\lim_{n \to \infty} \binom{n}{k} p_n^k (1-p_n)^{n-k} = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$$
証明の要点：
- 二項係数の漸近展開
- 対数変換による近似
- 極限操作の正当化
収束の速度
Chen-Steinの手法により、近似の誤差は：
$$\left|P(S_n = k) - \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}\right| \leq 2p_n$$
本問では誤差 ≤ 2 × 0.003 = 0.006 です。
具体例での精度確認
Step 5: 二項分布との比較
正確な二項分布での計算：
$$P(S_n = 2) = \binom{1000}{2} (0.003)^2 (0.997)^{998}$$
$$= \frac{1000 \times 999}{2} \times 0.000009 \times (0.997)^{998}$$
$$= 499500 \times 0.000009 \times 0.04979 = 0.2240$$
Poisson近似と非常によく一致しています！
近似精度の評価
| k | 二項分布（正確値） | Poisson近似 | 誤差 |
|---|
| 0 | 0.0498 | 0.0498 | 0.0000 |
| 1 | 0.1494 | 0.1494 | 0.0000 |
| 2 | 0.2240 | 0.2240 | 0.0000 |
| 3 | 0.2240 | 0.2240 | 0.0000 |
歴史的発展と応用
Step 6: Bortkiewiczの研究
1898年、Bortkiewiczは「少数の法則」を発表し、以下を分析：
- プロシア軍での馬による死亡事故：年間死者数の分布
- 観測期間：20年間、14の軍団
- 結果：Poisson分布による優れた近似
古典的応用例
| 現象 | n | p | λ = np | 解釈 |
|---|
| 馬による死亡 | 大 | 小 | 0.61 | 稀な事故 |
| 放射性崩壊 | 大 | 小 | 変数 | 物理現象 |
| 電話接続数 | 大 | 小 | 変数 | 待ち行列理論 |
| 遺伝子変異 | 大 | 小 | 変数 | 生物学 |
現代の応用分野
Step 7: 品質管理での応用
製造業での不良品発生：
- 設定：n = 10000個生産、不良率p = 0.0005
- 近似：λ = 10000 × 0.0005 = 5
- 応用：不良品数の分布予測
$$P(\text{不良品数} = k) \approx \frac{5^k e^{-5}}{k!}$$
現代的応用分野
- ネットワーク理論：パケット到着プロセス
- 疫学：稀少疾患の発生率
- 金融工学：信用リスクのモデル化
- 機械学習：スパースデータの統計的解析
数学的性質と拡張
Step 8: Poisson分布の性質
基本統計量
- 平均：E[X] = λ
- 分散：Var(X) = λ
- 特徴：平均と分散が等しい
積率母関数：
$$M_X(t) = e^{\lambda(e^t - 1)}$$
確率母関数：
$$G_X(s) = e^{\lambda(s - 1)}$$
Step 9: 再生性（加法性）
独立なPoisson分布の和も Poisson分布：
$$X_1 \sim \text{Po}(\lambda_1), X_2 \sim \text{Po}(\lambda_2) \Rightarrow X_1 + X_2 \sim \text{Po}(\lambda_1 + \lambda_2)$$
Poisson過程との関連
時間間隔 [0,t] でのPoisson過程の事象数：
$$N(t) \sim \text{Po}(\lambda t)$$
ここで λ は強度パラメータです。
近似精度の理論
Step 10: Total Variation距離
二項分布とPoisson分布の近似精度：
$$d_{TV}(\text{B}(n,p), \text{Po}(np)) \leq \min(1, \sqrt{\frac{2p}{\pi}})$$
本問では p = 0.003 なので：
$$d_{TV} \leq \sqrt{\frac{2 \times 0.003}{\pi}} = \sqrt{\frac{0.006}{\pi}} \approx 0.0437$$
実用的な近似基準
- 良好な近似：n ≥ 20, p ≤ 0.05, np ≤ 5
- 優秀な近似：n ≥ 100, p ≤ 0.01
- 本問：n = 1000, p = 0.003 → 優秀な近似
計算手法と実装
Step 11: 数値計算の技法
主要ソフトウェアでの実装
| ソフトウェア | 関数 | 例 |
|---|
| R | dpois() | dpois(2, lambda=3) |
| Python | poisson.pmf() | poisson.pmf(2, mu=3) |
| Excel | POISSON.DIST() | POISSON.DIST(2,3,FALSE) |
| MATLAB | poisspdf() | poisspdf(2,3) |
統計的推論への応用
Step 12: 仮説検定
Poisson分布を仮定した適合度検定：
$$H_0: X \sim \text{Po}(\lambda) \quad \text{vs} \quad H_1: X \not\sim \text{Po}(\lambda)$$
χ²適合度検定を使用：
$$\chi^2 = \sum_{i} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$$
信頼区間の構築
Poissonパラメータ λ の信頼区間：
- 正規近似：λ ± 1.96√(λ/n) （λが大きい時）
- 正確法：χ²分布による正確信頼区間
- ベイズ法：ガンマ事前分布を使用
一般化と拡張
Step 13: 関連分布
Poisson分布の拡張
- 複合Poisson：事象サイズが確率変数
- 負の二項分布：過分散への対応
- ゼロ過剰Poisson：ゼロが過多な場合
- 切断Poisson：観測範囲が制限される場合
実際の計算例
Step 14: 段階的計算
| ステップ | 計算 | 結果 |
|---|
| 1. λの計算 | 1000 × 0.003 | 3 |
| 2. 3²の計算 | 3 × 3 | 9 |
| 3. e⁻³の計算 | 1/e³ | 0.049787 |
| 4. 2!の計算 | 2 × 1 | 2 |
| 5. 最終計算 | 9 × 0.049787 / 2 | 0.2240 |
近似の正当性
少数法則の条件確認：
- n = 1000：十分大きい ✓
- p = 0.003：十分小さい ✓
- np = 3：適度な値 ✓
- 結論：優秀な近似が期待できる
結果の解釈と報告
実際の研究報告例：
「n=1000の独立試行において成功確率p=0.003の二項過程を考察した。少数法則の条件（n大、p小、np有限）が満たされるため、成功回数Sₙはパラメータλ=np=3のPoisson分布で近似できる。P(Sₙ=2)の計算では、Poisson分布の確率質量関数を用いて P(Sₙ=2) ≈ (3²e⁻³)/2! = 0.2240 となった。この近似は Chen-Stein不等式により誤差が最大2p=0.006以下であることが保証される。」