漸近理論問題15 - 青の統計学-DS Playground-

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スルツキーの定理（Slutsky's Theorem）

スルツキーの定理は漸近理論の基本定理の一つで、分布収束と確率収束を組み合わせた場合の収束性質を明らかにします。統計的推論において、未知パラメータを標本統計量で置き換える際の理論的根拠を提供する重要な結果です。

スルツキーの定理の重要性

実用性：未知パラメータの標本統計量による置き換えを正当化
基本性：多くの統計的手法の理論的基盤となる基本定理

Step 1: 問題設定の確認

母平均：μ = 10
母分散：σ² = 25, したがって σ = 5
標準化統計量：Zₙ = √n(X̄ₙ - μ)/σ
標本標準偏差：Sₙ →ᵖ σ = 5
統計量：Tₙ = σZₙ/Sₙ = Zₙ/(Sₙ/σ)

Step 2: 中心極限定理の適用

独立同分布確率変数について、中心極限定理により：

$$Z_n = \frac{\sqrt{n}(\bar{X}_n - \mu)}{\sigma} \xrightarrow{d} N(0, 1)$$

これは標準正規分布への分布収束を表します。

Step 3: 標本標準偏差の確率収束

大数の法則により、標本標準偏差は母標準偏差に確率収束：

$$S_n \xrightarrow{p} \sigma = 5$$

したがって：

$$\frac{S_n}{\sigma} \xrightarrow{p} \frac{\sigma}{\sigma} = 1$$

確率収束の性質

Xₙ →ᵖ c かつ連続関数 g について：
g(Xₙ) →ᵖ g(c)

ここでは g(x) = x/σ が連続なので、Sₙ →ᵖ σ ⟹ Sₙ/σ →ᵖ 1

Step 4: スルツキーの定理の適用

スルツキーの定理：

スルツキーの定理

Xₙ →ᵈ X かつ Yₙ →ᵖ c（定数）ならば：

Xₙ + Yₙ →ᵈ X + c
XₙYₙ →ᵈ cX
Xₙ/Yₙ →ᵈ X/c （c ≠ 0）

本問では：

Zₙ →ᵈ N(0, 1)
Sₙ/σ →ᵖ 1

スルツキーの定理により：

$$T_n = \frac{Z_n}{S_n/\sigma} \xrightarrow{d} \frac{N(0, 1)}{1} = N(0, 1)$$

Step 5: 統計量の変形確認

統計量Tₙの別表現：

$$T_n = \frac{\sigma Z_n}{S_n} = \frac{\sigma \cdot \sqrt{n}(\bar{X}_n - \mu)/\sigma}{S_n} = \frac{\sqrt{n}(\bar{X}_n - \mu)}{S_n}$$

これは標本平均のt統計量と同じ形です。

Step 6: 確率P(|Tₙ| ≤ 1.96)の計算

漸近分布が N(0,1) なので：

$$P(|T_n| \leq 1.96) \to P(|Z| \leq 1.96)$$

ここで Z ～ N(0,1)。

標準正規分布の性質により：

$$P(|Z| \leq 1.96) = P(-1.96 \leq Z \leq 1.96) = \Phi(1.96) - \Phi(-1.96)$$

$$= \Phi(1.96) - (1 - \Phi(1.96)) = 2\Phi(1.96) - 1$$

$$= 2 \times 0.975 - 1 = 0.950$$

小数第3位まで：0.950

計算の確認

標準正規分布の重要な値：

値	Φ(値)	P(\|Z\|≤値)	信頼度
1.645	0.950	0.900	90%
1.960	0.975	0.950	95%
2.576	0.995	0.990	99%

スルツキーの定理の詳細

Step 7: 定理の一般的表現

スルツキーの定理の完全な形：

$$X_n \xrightarrow{d} X, \quad Y_n \xrightarrow{p} c \Rightarrow (X_n, Y_n) \xrightarrow{d} (X, c)$$

この結果から、連続関数 g に対して：

$$g(X_n, Y_n) \xrightarrow{d} g(X, c)$$

適用条件

スルツキーの定理が適用できる条件：

分布収束：一方の列が分布収束
確率収束：他方の列が定数に確率収束
連続性：合成関数が連続

統計的応用

Step 8: t検定への応用

母分散未知の場合の平均の検定：

$$H_0: \mu = \mu_0 \quad \text{vs} \quad H_1: \mu \neq \mu_0$$

検定統計量：

$$T = \frac{\sqrt{n}(\bar{X} - \mu_0)}{S}$$

漸近的に N(0,1) に従うため、大標本では：

棄却域：|T| > 1.96 （α = 0.05）
p値：2(1 - Φ(|t|))

有限標本vs大標本

標本サイズ	分布	臨界値（α=0.05）
小標本（n<30）	t(n-1)	表から求める
大標本（n≥30）	≈ N(0,1)	1.96
漸近的	N(0,1)	1.96

他の統計量への応用

Step 9: 比率統計量

2つの統計量の比：

$$R_n = \frac{U_n}{V_n}$$

ここで：

√n(Uₙ - μᵤ) →ᵈ N(0, σ²ᵤ)
Vₙ →ᵖ μᵥ ≠ 0

スルツキーの定理により：

$$\sqrt{n}(R_n - \mu_U/\mu_V) \xrightarrow{d} N\left(0, \frac{\sigma_U^2}{\mu_V^2}\right)$$

応用例

回帰係数：β̂ = (XᵀX)⁻¹XᵀY
相関係数：標本相関のFisher変換
分散比：F統計量の漸近分布
オッズ比：ロジスティック回帰

証明のスケッチ

Step 10: 定理の証明概要

スルツキーの定理の証明は特性関数を用いて行われます：

特性関数の収束：分布収束は特性関数の収束と同値
確率収束の性質：確率収束する列の特性関数の挙動
積の極限：特性関数の積の極限操作

証明の要点

特性関数 φₙ(t, s) = E[exp(itXₙ + isYₙ)] について：

$$\lim_{n \to \infty} \phi_n(t, s) = \phi_X(t) \cdot e^{ics}$$

これは (X, c) の特性関数と一致します。

数値例

Step 11: 具体的計算例

σ = 4, n = 100 の場合：

統計量	漸近分布	P(\|統計量\|>1.96)
√n(X̄-μ)/σ	N(0,1)	0.050
√n(X̄-μ)/S	≈ N(0,1)	≈ 0.050
正確なt統計量	t(99)	≈ 0.050

シミュレーション結果

正規分布N(3,16)からの標本（n=100）での10,000回シミュレーション：

理論値：P(|T|>1.96) = 0.050
実験値：0.051
相対誤差：2%

拡張と一般化

Step 12: 多変量への拡張

多変量版のスルツキーの定理：

$$\vec{X}_n \xrightarrow{d} \vec{X}, \quad \vec{Y}_n \xrightarrow{p} \vec{c} \Rightarrow (\vec{X}_n, \vec{Y}_n) \xrightarrow{d} (\vec{X}, \vec{c})$$

この結果は：

多変量デルタ法：ヤコビアンの推定
構造方程式：未知パラメータの置き換え
GMM推定：重み行列の推定

連続写像定理との関係

スルツキーの定理は連続写像定理の特別な場合：

$$g(x, y) = \frac{x}{y} \text{（連続、y ≠ 0）}$$

より一般的には、任意の連続関数に適用可能。

実用的な考慮事項

Step 13: 適用時の注意点

スルツキーの定理使用時の注意

確率収束の確認：標本統計量が真の値に収束することの確認
連続性の確認：変換関数の連続性
収束速度：有限標本での近似精度
分布の仮定：中心極限定理の適用条件

定理	条件	結論	応用
スルツキー	分布収束+確率収束	結合分布収束	統計量の変換
連続写像	分布収束+連続性	変換の分布収束	関数変換
デルタ法	分布収束+微分可能性	1次近似分布	非線形変換

定理の階層

これらの定理の包含関係：

連続写像定理：最も一般的
スルツキーの定理：特別な場合（定数への収束）
デルタ法：微分可能な場合の精密化

統計ソフトでの実装

主要ソフトウェアでの計算

ソフトウェア	関数	特徴
R	t.test()	自動的にt/z選択
Python	scipy.stats.ttest_1samp	t検定実装
SAS	PROC TTEST	詳細出力
Stata	ttest	大標本近似対応

結果の解釈と報告

実際の研究報告例：

「独立同分布標本の標本平均に対するt統計量 Tₙ = √n(X̄ₙ - μ)/Sₙ について、スルツキーの定理を適用した。中心極限定理により √n(X̄ₙ - μ)/σ →ᵈ N(0,1) かつ大数の法則により Sₙ →ᵖ σ であるため、Tₙ は漸近的に標準正規分布に従う。したがって P(|Tₙ| > 1.96) の漸近確率は 0.050 となり、大標本では t分布と正規分布の区別が実用上無視できることが確認された。」

極限・漸近理論