スルツキーの定理（Slutsky's Theorem）
スルツキーの定理は漸近理論の基本定理の一つで、分布収束と確率収束を組み合わせた場合の収束性質を明らかにします。統計的推論において、未知パラメータを標本統計量で置き換える際の理論的根拠を提供する重要な結果です。
スルツキーの定理の重要性
実用性：未知パラメータの標本統計量による置き換えを正当化
基本性：多くの統計的手法の理論的基盤となる基本定理
Step 1: 問題設定の確認
- 母平均：μ = 3
- 母分散：σ² = 16, したがって σ = 4
- 標本平均：X̄ₙ
- 標本標準偏差：Sₙ = √S²ₙ
- 統計量：Tₙ = √n(X̄ₙ - μ)/Sₙ
Step 2: 中心極限定理の適用
独立同分布確率変数について、中心極限定理により：
$\frac{\sqrt{n}(\bar{X}_n - \mu)}{\sigma} \xrightarrow{d} N(0, 1)$
これを書き直すと：
$\sqrt{n}(\bar{X}_n - \mu) \xrightarrow{d} N(0, \sigma^2)$
Step 3: 標本分散の確率収束
標本分散について：
$S_n^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X}_n)^2 \xrightarrow{p} \sigma^2$
大数の法則により、標本分散は母分散に確率収束します。
したがって：
$S_n = \sqrt{S_n^2} \xrightarrow{p} \sqrt{\sigma^2} = \sigma$
確率収束の性質
Xₙ →ᵖ c かつ g が連続関数ならば：
g(Xₙ) →ᵖ g(c)
√x は x > 0 で連続なので、S²ₙ →ᵖ σ² ⟹ Sₙ →ᵖ σ
Step 4: スルツキーの定理の適用
スルツキーの定理：
スルツキーの定理
Xₙ →ᵈ X かつ Yₙ →ᵖ c（定数）ならば：
- Xₙ + Yₙ →ᵈ X + c
- XₙYₙ →ᵈ cX
- Xₙ/Yₙ →ᵈ X/c （c ≠ 0）
本問では：
- √n(X̄ₙ - μ) →ᵈ N(0, σ²)
- Sₙ →ᵖ σ
スルツキーの定理により：
$T_n = \frac{\sqrt{n}(\bar{X}_n - \mu)}{S_n} \xrightarrow{d} \frac{N(0, \sigma^2)}{\sigma} = N(0, 1)$
Step 5: t分布との比較
重要な点：正規分布からの標本でも、標本サイズが大きければ：
- t統計量：Tₙ = √n(X̄ₙ - μ)/Sₙ は漸近的に N(0,1)
- 有限標本：正確にはt(n-1)分布
- 漸近分布：N(0,1)分布（スルツキーの定理による）
t分布とN(0,1)の関係
自由度 ν のt分布について：
$\lim_{\nu \to \infty} t(\nu) = N(0, 1)$
大標本では t(n-1) ≈ N(0,1) となります。
Step 6: 確率P(|Tₙ| > 1.96)の計算
漸近分布が N(0,1) なので：
$P(|T_n| > 1.96) \to P(|Z| > 1.96)$
ここで Z ～ N(0,1)。
標準正規分布の性質により：
$P(|Z| > 1.96) = 2P(Z > 1.96) = 2(1 - \Phi(1.96))$
$= 2(1 - 0.975) = 2 \times 0.025 = 0.05$
小数第3位まで：0.050
計算の確認
標準正規分布の重要な値：
| 値 | Φ(値) | 1-Φ(値) | P(|Z|>値) |
|---|
| 1.645 | 0.950 | 0.050 | 0.100 |
| 1.960 | 0.975 | 0.025 | 0.050 |
| 2.576 | 0.995 | 0.005 | 0.010 |
スルツキーの定理の詳細
Step 7: 定理の一般的表現
スルツキーの定理の完全な形：
$X_n \xrightarrow{d} X, \quad Y_n \xrightarrow{p} c \Rightarrow (X_n, Y_n) \xrightarrow{d} (X, c)$
この結果から、連続関数 g に対して：
$g(X_n, Y_n) \xrightarrow{d} g(X, c)$
適用条件
スルツキーの定理が適用できる条件：
- 分布収束：一方の列が分布収束
- 確率収束：他方の列が定数に確率収束
- 連続性：合成関数が連続
統計的応用
Step 8: t検定への応用
母分散未知の場合の平均の検定：
$H_0: \mu = \mu_0 \quad \text{vs} \quad H_1: \mu \neq \mu_0$
検定統計量：
$T = \frac{\sqrt{n}(\bar{X} - \mu_0)}{S}$
漸近的に N(0,1) に従うため、大標本では：
- 棄却域：|T| > 1.96 （α = 0.05）
- p値：2(1 - Φ(|t|))
有限標本vs大標本
| 標本サイズ | 分布 | 臨界値（α=0.05） |
|---|
| 小標本（n<30） | t(n-1) | 表から求める |
| 大標本（n≥30） | ≈ N(0,1) | 1.96 |
| 漸近的 | N(0,1) | 1.96 |
他の統計量への応用
Step 9: 比率統計量
2つの統計量の比：
$R_n = \frac{U_n}{V_n}$
ここで：
- √n(Uₙ - μᵤ) →ᵈ N(0, σ²ᵤ)
- Vₙ →ᵖ μᵥ ≠ 0
スルツキーの定理により：
$\sqrt{n}(R_n - \mu_U/\mu_V) \xrightarrow{d} N\left(0, \frac{\sigma_U^2}{\mu_V^2}\right)$
応用例
- 回帰係数：β̂ = (XᵀX)⁻¹XᵀY
- 相関係数：標本相関のFisher変換
- 分散比：F統計量の漸近分布
- オッズ比：ロジスティック回帰
証明のスケッチ
Step 10: 定理の証明概要
スルツキーの定理の証明は特性関数を用いて行われます：
- 特性関数の収束：分布収束は特性関数の収束と同値
- 確率収束の性質：確率収束する列の特性関数の挙動
- 積の極限：特性関数の積の極限操作
証明の要点
特性関数 φₙ(t, s) = E[exp(itXₙ + isYₙ)] について：
$\lim_{n \to \infty} \phi_n(t, s) = \phi_X(t) \cdot e^{ics}$
これは (X, c) の特性関数と一致します。