デルタ法（Delta Method）
デルタ法は漸近理論における最も重要で実用的な定理の一つで、漸近正規性を持つ統計量の滑らかな変換の漸近分布を導出するための基本的な道具です。統計的推論において、複雑な関数形の統計量の分布を求める際に不可欠な理論として広く応用されています。
デルタ法の重要性
変換の一般性：平方根、対数、逆数など多様な非線形変換に適用可能
実用性：信頼区間の構築、仮説検定、分散安定化変換で広く利用
Step 1: 問題設定の確認
- 母平均：μ = 4
- 母分散：σ² = 9, したがって σ = 3
- 変換関数：g(x) = √x
- 真の値：g(μ) = √4 = 2
Step 2: 中心極限定理の適用
独立同分布確率変数の標本平均について、中心極限定理により：
$\sqrt{n}(\bar{X}_n - \mu) \xrightarrow{d} N(0, \sigma^2)$
これは分布収束を表し、正規分布N(0, 9)に収束することを示します。
Step 3: デルタ法の適用
デルタ法の一般的定理：
デルタ法
√n(Xₙ - μ) →ᵈ N(0, σ²) かつ g'(μ) ≠ 0 ならば：
√n(g(Xₙ) - g(μ)) →ᵈ N(0, [g'(μ)]²σ²)
g(x) = √x の場合：
$g'(x) = \frac{d}{dx}\sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
μ = 4 での微分係数：
$g'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{2 \times 2} = \frac{1}{4}$
Step 4: 漸近分散の計算
デルタ法により：
$\sqrt{n}(\sqrt{\bar{X}_n} - \sqrt{\mu}) \xrightarrow{d} N(0, [g'(\mu)]^2 \sigma^2)$
漸近分散：
$[g'(4)]^2 \times \sigma^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 \times 9 = \frac{1}{16} \times 9 = \frac{9}{16}$
数値計算：
$\frac{9}{16} = 0.5625$
小数第3位まで：0.563
計算の確認
段階的な計算：
- 微分計算：g'(x) = 1/(2√x)
- 点での微分：g'(4) = 1/(2×2) = 1/4
- 微分の二乗：[g'(4)]² = (1/4)² = 1/16
- 分散との積：(1/16) × 9 = 9/16
- 小数変換：9 ÷ 16 = 0.5625
- 四捨五入：0.563
デルタ法の理論的基礎
Step 5: 証明の概要
デルタ法の証明はテイラー展開に基づきます：
$g(\bar{X}_n) = g(\mu) + g'(\mu)(\bar{X}_n - \mu) + o_p(\bar{X}_n - \mu)$
両辺を√n倍すると：
$\sqrt{n}(g(\bar{X}_n) - g(\mu)) = g'(\mu)\sqrt{n}(\bar{X}_n - \mu) + o_p(1)$
中心極限定理とスルツキーの定理により：
$\sqrt{n}(g(\bar{X}_n) - g(\mu)) \xrightarrow{d} N(0, [g'(\mu)]^2\sigma^2)$
適用条件
デルタ法が適用可能な条件：
- 漸近正規性：元の統計量が漸近正規分布に従う
- 微分可能性：変換関数gが収束点で微分可能
- 非零微分：g'(μ) ≠ 0（零の場合は高次のデルタ法が必要）
平方根変換の特殊性
Step 6: 分散安定化変換
平方根変換は重要な分散安定化変換の例です：
- ポアソン分布：Var(X) = μ なので √X で分散が安定化
- 二項分布（大きなn）：√(X/n) でほぼ一定分散
- ガンマ分布：√X で分散が平均に依存しなくなる
変換の効果
| 統計量 | 漸近分散 | 変換後分散 | 効果 |
|---|
| X̄ₙ | σ²/n | - | 元の分散 |
| √X̄ₙ | [g'(μ)]²σ²/n | 9/64n | 分散減少 |
| log X̄ₙ | [1/μ]²σ²/n | 9/64n | 同じ分散 |
他の変換との比較
Step 7: 様々な変換関数
同じ設定（μ = 4, σ² = 9）での他の変換：
| 変換 g(x) | g'(μ) | [g'(μ)]²σ² | 数値 |
|---|
| √x | 1/4 | 9/16 | 0.563 |
| log x | 1/4 | 9/16 | 0.563 |
| 1/x | -1/16 | 9/256 | 0.035 |
| x² | 8 | 576 | 576.000 |
変換の選択基準
- 平方根変換：分散を中程度に安定化
- 対数変換：乗法的効果を加法的に変換
- 逆数変換：分散を大幅に縮小（レート変換）
- 平方変換：分散を大幅に拡大
信頼区間への応用
Step 8: 信頼区間の構築
デルタ法を用いた95%信頼区間：
$\sqrt{\bar{X}_n} \pm 1.96 \times \sqrt{\frac{9/16}{n}} = \sqrt{\bar{X}_n} \pm 1.96 \times \frac{3}{4\sqrt{n}}$
n = 100 の場合：
$\sqrt{\bar{X}_n} \pm 1.96 \times \frac{3}{40} = \sqrt{\bar{X}_n} \pm 0.147$
信頼区間の比較
| 統計量 | 95%信頼区間の幅 | 相対精度 |
|---|
| X̄ₙ | 2 × 1.96 × 3/√n | 100% |
| √X̄ₙ | 2 × 1.96 × 3/(4√n) | 133% |
| 変換の方が狭い | 効率的な推定 | - |
多変量デルタ法
Step 9: ベクトル値への拡張
多変量の場合、デルタ法は以下のように拡張されます：
$\sqrt{n}(\vec{X}_n - \vec{\mu}) \xrightarrow{d} N_k(\vec{0}, \Sigma)$
ベクトル値関数 g に対して：
$\sqrt{n}(g(\vec{X}_n) - g(\vec{\mu})) \xrightarrow{d} N_m(\vec{0}, \nabla g(\vec{\mu}) \Sigma [\nabla g(\vec{\mu})]^T)$
ここで ∇g はヤコビアン行列です。
多変量の例
比率 g(x₁, x₂) = x₁/x₂ の場合：
$\nabla g = \left(\frac{1}{x_2}, -\frac{x_1}{x_2^2}\right)$
この形は回帰係数の比、相関係数などで重要です。
高次のデルタ法
Step 10: g'(μ) = 0 の場合
一次の微分が零の場合、高次のデルタ法が必要：
$n(g(\bar{X}_n) - g(\mu)) \xrightarrow{d} \frac{g''(\mu)}{2} \chi^2(1)$
例：g(x) = (x - μ)² の場合、g'(μ) = 0 なので二次の項が支配的になります。
高次デルタ法の例
- 分散の推定：標本分散の漸近分布
- 歪度・尖度：高次モーメントの分布
- 最尤推定量：情報行列の逆行列要素
数値計算の詳細
Step 11: 計算の検証
| 計算段階 | 式 | 数値 |
|---|
| 元の分散 | σ² = 9 | 9 |
| 微分係数 | g'(4) = 1/4 | 0.25 |
| 微分の二乗 | [g'(4)]² = 1/16 | 0.0625 |
| 漸近分散 | (1/16) × 9 = 9/16 | 0.5625 |
| 四捨五入 | 小数第3位 | 0.563 |
別の計算確認
分数計算での確認：
$\frac{9}{16} = \frac{9 \times 0.0625}{1} = 0.5625$
または：9 ÷ 16 = 0.5625