多次元分布収束（Multidimensional Distribution Convergence）
多次元分布収束は、中心極限定理の多変量版として統計学の基本理論の一つです。複数の確率変数が同時に関わる場合の漸近理論を扱い、統計的推論における多くの応用の基礎となる重要な概念です。
多変量中心極限定理の重要性
一般化：一変量中心極限定理の自然な拡張として理論的完成度が高い
応用範囲：回帰分析、多変量解析、同時推論など統計学の広範囲で利用
Step 1: 問題設定の確認
- 期待値：E[X₁ᵢ] = 1, E[X₂ᵢ] = 2
- 共分散行列：Σ = [[4, 2], [2, 9]]
- 標本平均：(X̄₁ₙ, X̄₂ₙ)
- 統計量：Tₙ = X̄₁ₙ + X̄₂ₙ
Step 2: 多変量中心極限定理の適用
独立同分布な2次元確率変数について、多変量中心極限定理により：
$\sqrt{n}\left((\bar{X}_{1n}, \bar{X}_{2n}) - (1, 2)\right) \xrightarrow{d} N_2(\vec{0}, \Sigma)$
ここで：
$\Sigma = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 9 \end{pmatrix}$
これは2次元正規分布への分布収束を表します。
Step 3: 線形結合の漸近分布
統計量 Tₙ = X̄₁ₙ + X̄₂ₙ について考察します。これは以下の線形結合です：
$T_n = \vec{c}^T \vec{\bar{X}}_n$
ここで：
- c = (1, 1)ᵀ （係数ベクトル）
- X̄ₙ = (X̄₁ₙ, X̄₂ₙ)ᵀ （標本平均ベクトル）
線形変換の性質
多変量正規分布の線形変換：
X ～ Nₚ(μ, Σ) ならば cᵀX ～ N(cᵀμ, cᵀΣc)
Step 4: Tₙの漸近分散の計算
多変量中心極限定理により：
$\sqrt{n}(T_n - E[T_n]) = \sqrt{n}(\vec{c}^T \vec{\bar{X}}_n - \vec{c}^T \vec{\mu})$
$= \vec{c}^T \sqrt{n}(\vec{\bar{X}}_n - \vec{\mu}) \xrightarrow{d} N(0, \vec{c}^T \Sigma \vec{c})$
漸近分散の計算：
$\vec{c}^T \Sigma \vec{c} = (1, 1) \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$
Step 5: 行列計算の実行
段階的に計算します：
$\vec{c}^T \Sigma = (1, 1) \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 9 \end{pmatrix} = (1 \times 4 + 1 \times 2, 1 \times 2 + 1 \times 9)$
$= (6, 11)$
次に：
$\vec{c}^T \Sigma \vec{c} = (6, 11) \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 6 \times 1 + 11 \times 1 = 17$
計算の確認
線形結合の分散公式：
$Var(aX + bY) = a^2Var(X) + b^2Var(Y) + 2abCov(X,Y)$
本問では a = b = 1 なので：
$Var(T_n) = Var(\bar{X}_{1n}) + Var(\bar{X}_{2n}) + 2Cov(\bar{X}_{1n}, \bar{X}_{2n})$
多変量中心極限定理の詳細
Step 7: 定理の一般的表現
k次元確率変数 Xᵢ = (X₁ᵢ, X₂ᵢ, ..., Xₖᵢ)ᵀ について：
$\sqrt{n}(\vec{\bar{X}}_n - \vec{\mu}) \xrightarrow{d} N_k(\vec{0}, \Sigma)$
ここで：
- X̄ₙ = (X̄₁ₙ, X̄₂ₙ, ..., X̄ₖₙ)ᵀ は標本平均ベクトル
- μ = (μ₁, μ₂, ..., μₖ)ᵀ は母平均ベクトル
- Σ は k×k 共分散行列
収束の意味
多次元分布収束 Xₙ →ᵈ X とは：
- 弱収束：すべての連続有界関数での期待値が収束
- 特性関数：各点での特性関数の収束
- 分布関数：連続点での分布関数の収束
共分散行列の性質
Step 8: 共分散行列の構造
与えられた共分散行列：
$\Sigma = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 9 \end{pmatrix}$
この行列の性質：
- 対角成分：Var(X₁) = 4, Var(X₂) = 9
- 非対角成分：Cov(X₁, X₂) = 2
- 相関係数：ρ = 2/√(4×9) = 2/6 = 1/3
正定値性の確認
共分散行列は正定値でなければなりません：
- 行列式：det(Σ) = 4×9 - 2×2 = 36 - 4 = 32 > 0 ✓
- 対角成分：4 > 0, 9 > 0 ✓
- 固有値：すべて正 ✓
線形変換の応用
Step 9: 一般的な線形結合
任意の定数ベクトル c = (c₁, c₂)ᵀ に対して：
$Y_n = \vec{c}^T \vec{\bar{X}}_n = c_1 \bar{X}_{1n} + c_2 \bar{X}_{2n}$
の漸近分布は：
$\sqrt{n}(Y_n - \vec{c}^T \vec{\mu}) \xrightarrow{d} N(0, \vec{c}^T \Sigma \vec{c})$
様々な線形結合の例：
| 線形結合 | 係数ベクトル c | 漸近分散 |
|---|
| X̄₁ₙ + X̄₂ₙ | (1, 1) | 17 |
| X̄₁ₙ - X̄₂ₙ | (1, -1) | 9 |
| 2X̄₁ₙ + X̄₂ₙ | (2, 1) | 29 |
線形変換の計算公式
c = (c₁, c₂) の場合：
$\vec{c}^T \Sigma \vec{c} = c_1^2 \Sigma_{11} + c_2^2 \Sigma_{22} + 2c_1 c_2 \Sigma_{12}$
同時推論への応用
Step 10: 同時信頼区間
多変量正規分布の性質を利用した同時推論：
$n(\vec{\bar{X}}_n - \vec{\mu})^T \Sigma^{-1} (\vec{\bar{X}}_n - \vec{\mu}) \xrightarrow{d} \chi^2(2)$
これにより、μ₁, μ₂の同時信頼領域を構築できます。
Hotelling's T²統計量
標本共分散行列 S を用いた場合：
$T^2 = n(\vec{\bar{X}}_n - \vec{\mu})^T S^{-1} (\vec{\bar{X}}_n - \vec{\mu})$
は適切にスケールしたF分布に従います。
独立性の検定
Step 11: 成分間の独立性
共分散が0でない場合（Σ₁₂ = 2 ≠ 0）、X₁とX₂は独立ではありません。
独立性の検定統計量：
$R = \frac{\hat{\Sigma}_{12}}{\sqrt{\hat{\Sigma}_{11} \hat{\Sigma}_{22}}}$
これは標本相関係数で、独立性の検定に使用されます。
相関の信頼区間
Fisher's z変換を用いて：
$Z = \frac{1}{2} \log \frac{1+R}{1-R}$
は近似的に N(ρ*, 1/(n-3)) に従います。
数値例とシミュレーション
Step 12: 数値確認
問題設定での数値例：
| 統計量 | 漸近分散 | 標準誤差（n=100） |
|---|
| X̄₁ₙ | 4 | 0.2 |
| X̄₂ₙ | 9 | 0.3 |
| X̄₁ₙ + X̄₂ₙ | 17 | 0.387 |