ベイズ統計学

ベイズの定理、事前分布、事後分布、MCMC法、階層ベイズモデルなど、ベイズ統計学の理論と実践

正規分布の事後分布計算レベル2

正規分布$N(μ,σ²=4)$の母平均μについて、事前分布$μ～N(0,9)$を設定した。標本x₁=2, x₂=6, x₃=4を観測したとき、μの事後平均はいくらか。小数第3位まで求めよ。

解説

解答と解説を表示

この問題では、正規分布の平均パラメータに対する正規事前分布の共役性を利用して、事後分布を解析的に求めます。

正規-正規共役性の重要性

分散既知の正規分布に対して正規事前分布を使用すると、事後分布も正規分布になり、精密な推論が可能になります。

Step 1: 問題設定の整理

Step 2: 基本統計量の計算

$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3} = \frac{2 + 6 + 4}{3} = \frac{12}{3} = 4$

Step 3: 正規-正規共役性の公式適用

事前分布：$\mu \sim N(\mu_0, \tau_0^2)$、尤度：$x_i \sim N(\mu, \sigma^2)$の場合、事後分布は：

$\mu|\mathbf{x} \sim N(\mu_n, \tau_n^2)$

ここで、事後精度（逆分散）は：

$\frac{1}{\tau_n^2} = \frac{1}{\tau_0^2} + \frac{n}{\sigma^2}$

事後平均は：

$\mu_n = \frac{\frac{\mu_0}{\tau_0^2} + \frac{n\bar{x}}{\sigma^2}}{\frac{1}{\tau_0^2} + \frac{n}{\sigma^2}}$

Step 4: 事後精度の計算

$\frac{1}{\tau_n^2} = \frac{1}{9} + \frac{3}{4} = \frac{4 + 27}{36} = \frac{31}{36}$

$\tau_n^2 = \frac{36}{31} ≈ 1.161$

Step 5: 事後平均の計算

分子の計算：

$\frac{\mu_0}{\tau_0^2} + \frac{n\bar{x}}{\sigma^2} = \frac{0}{9} + \frac{3 \times 4}{4} = 0 + 3 = 3$

分母の計算：

$\frac{1}{\tau_0^2} + \frac{n}{\sigma^2} = \frac{1}{9} + \frac{3}{4} = \frac{31}{36}$

事後平均：

$\mu_n = \frac{3}{\frac{31}{36}} = 3 \times \frac{36}{31} = \frac{108}{31} ≈ 3.484$

Step 6: 重み付き平均としての解釈

事後平均は事前平均とサンプル平均の精度重み付き平均：

$\mu_n = w_0 \mu_0 + w_1 \bar{x}$

ここで：

$w_0 = \frac{1/\tau_0^2}{1/\tau_0^2 + n/\sigma^2} = \frac{1/9}{31/36} = \frac{4}{31}$（事前情報の重み）
$w_1 = \frac{n/\sigma^2}{1/\tau_0^2 + n/\sigma^2} = \frac{3/4}{31/36} = \frac{27}{31}$（データの重み）

$\mu_n = \frac{4}{31} \times 0 + \frac{27}{31} \times 4 = \frac{108}{31} ≈ 3.484$

答えを小数第3位まで：3.484

問題検索