ベイズファクターの計算 - ベイズ統計学問題4

ベイズファクターの計算レベル1

薬の効果を調べるために、2人の患者に新薬を投与したところ、2人とも回復した。回復確率をpとして、以下の2つの仮説を比較する：\\n- H₀: p = 0.5（薬に効果なし）\\n- H₁: p = 0.8（薬に効果あり）ベイズファクターBF₀₁を計算せよ。小数第3位まで求めよ。

解説

解答と解説を表示

ベイズファクターは、2つの競合仮説間でのデータの支持度を定量化する重要な指標です。この問題では、薬の効果について簡単な例で学習します。

Step 1: H₀の下での尤度

H₀では p = 0.5 なので：

$$P(\\text{データ}|H_0) = (0.5)^2 = 0.25$$

Step 2: H₁の下での尤度

H₁では p = 0.8 なので：

$$P(\\text{データ}|H_1) = (0.8)^2 = 0.64$$

Step 3: ベイズファクターの計算

$$BF_{01} = \\frac{P(\\text{データ}|H_0)}{P(\\text{データ}|H_1)} = \\frac{0.25}{0.64} = 0.391$$

Step 4: 結果の解釈

今回のBF₁₀ ≈ 2.56は弱い証拠の範囲に入ります。

Step 5: 比較の詳細分析

仮説	事前の妥当性	データとの整合性	総合評価
H₀ (p=0.5)	中立的仮説	25%の確率で起こる	やや低い支持
H₁ (p=0.8)	効果的な薬仮説	64%の確率で起こる	より高い支持

Step 6: 計算の検証

別の観点から確認してみましょう：

$$\\text{尤度比} = \\frac{0.64}{0.25} = 2.56$$

これは、観測されたデータが H₁ の下で H₀ の下よりも 2.56倍起こりやすいことを示しています。

もし10人中8人が回復した場合：

H₀：$P(\\text{データ}|H_0) = \\binom{10}{8}(0.5)^{10} = 45 \\times 0.00098 ≈ 0.044$
H₁：$P(\\text{データ}|H_1) = \\binom{10}{8}(0.8)^8(0.2)^2 = 45 \\times 0.168 \\times 0.04 ≈ 0.302$
BF₀₁：$0.044/0.302 ≈ 0.146$
BF₁₀：約6.9（中程度の証拠）

サンプルサイズが大きくなると、証拠がより明確になります。

Step 7: 臨床的意義