ベイズ信頼区間：事後分布による区間推定
ベイズ統計では、パラメータの事後分布から直接的に信用区間を求めることができます。
問題設定
- データ：$x_1 = 2, x_2 = 6, x_3 = 4$
- 尤度：$x_i \sim N(\mu, 4)$（分散4の正規分布）
- 事前分布：$\mu \sim N(0, 9)$
- 目標：μの95%ベイズ信頼区間
Step 1: 基本統計量の計算
$\bar{x} = \frac{2 + 6 + 4}{3} = \frac{12}{3} = 4$
$n = 3$
Step 2: 正規-正規共役性の適用
事前分布：$\mu \sim N(\mu_0, \tau_0^2)$、尤度：$x_i \sim N(\mu, \sigma^2)$の場合、事後分布は：
$\mu|\mathbf{x} \sim N(\mu_n, \tau_n^2)$
ここで：
- $\mu_0 = 0$（事前平均）
- $\tau_0^2 = 9$（事前分散）
- $\sigma^2 = 4$（尤度の分散）
Step 3: 事後分布のパラメータ計算
事後精度（逆分散）の計算：
$\frac{1}{\tau_n^2} = \frac{1}{\tau_0^2} + \frac{n}{\sigma^2} = \frac{1}{9} + \frac{3}{4}$
$= \frac{4 + 27}{36} = \frac{31}{36}$
事後分散：
$\tau_n^2 = \frac{36}{31} ≈ 1.161$
事後平均：
$\mu_n = \frac{\frac{\mu_0}{\tau_0^2} + \frac{n\bar{x}}{\sigma^2}}{\frac{1}{\tau_0^2} + \frac{n}{\sigma^2}}$
$= \frac{\frac{0}{9} + \frac{3 \times 4}{4}}{\frac{1}{9} + \frac{3}{4}} = \frac{0 + 3}{\frac{31}{36}} = \frac{3 \times 36}{31} = \frac{108}{31} ≈ 3.484$
Step 4: 事後分布の確認
$\mu|\mathbf{x} \sim N(3.484, 1.161)$
事後標準偏差：
$\tau_n = \sqrt{1.161} ≈ 1.077$
Step 5: 95%信頼区間の計算
正規分布の95%区間は平均 ± 1.96×標準偏差：
$\text{下限} = 3.484 - 1.96 \times 1.077 = 3.484 - 2.111 = 1.373$
$\text{上限} = 3.484 + 1.96 \times 1.077 = 3.484 + 2.111 = 5.595$
計算の検証
別の方法で確認：
- 事前の重み：$w_0 = \frac{1/\tau_0^2}{1/\tau_0^2 + n/\sigma^2} = \frac{1/9}{31/36} = \frac{4}{31}$
- データの重み：$w_1 = \frac{n/\sigma^2}{1/\tau_0^2 + n/\sigma^2} = \frac{27/36}{31/36} = \frac{27}{31}$
- 事後平均：$w_0 \times 0 + w_1 \times 4 = \frac{27}{31} \times 4 = \frac{108}{31} ≈ 3.484$ ✓
Step 6: ベイズ信頼区間の解釈
ベイズ vs 頻度論的信頼区間
| 項目 | ベイズ信頼区間 | 頻度論的信頼区間 |
|---|
| 解釈 | パラメータが区間に含まれる確率が95% | 区間がパラメータを含む頻度が95% |
| 基礎 | 事後分布 | 標本分布 |
| 事前情報 | 反映される | 反映されない |
| 計算 | 事後分布の分位点 | 標本統計量の分布 |